1.综合应用题在总体N(6,20^2)中随机抽取容量为100的样本X_(1),X_(2),...,X_(100),求样本均值落在5.7到6.3之间的概率。(注：Phi(0.15)=0.5596)

为了求解样本均值落在5.7到6.3之间的概率，我们需要使用中心极限定理。中心极限定理指出，对于一个总体均值为$\mu$，总体标准差为$\sigma$的总体，从该总体中随机抽取容量为$n$的样本，当$n$足够大时，样本均值$\bar{X}$的抽样分布近似服从均值为$\mu$，标准差为$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$的正态分布。 在这个问题中，总体均值$\mu = 6$，总体标准差$\sigma = 20$，样本容量$n = 100$。因此，样本均值$\bar{X}$的抽样分布近似服从均值为6，标准差为$\frac{20}{\sqrt{100}} = 2$的正态分布，即$\bar{X} \sim N(6, 2^2)$。 我们需要求解的是样本均值$\bar{X}$落在5.7到6.3之间的概率，即 $P(5.7 < \bar{X} < 6.3)$。为了使用标准正态分布表，我们需要将$\bar{X}$进行标准化。标准化的公式为： \[ Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma_{\bar{X}}} \] 其中，$\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2$。因此，我们有： \[ Z = \frac{\bar{X} - 6}{2} \] 现在，我们需要求解 $P(5.7 < \bar{X} < 6.3)$。将$\bar{X}$的值代入标准化公式，我们得到： \[ P(5.7 < \bar{X} < 6.3) = P\left(\frac{5.7 - 6}{2} < Z < \frac{6.3 - 6}{2}\right) = P\left(-0.15 < Z < 0.15\right) \] 由于标准正态分布是对称的，我们有： \[ P\left(-0.15 < Z < 0.15\right) = 2 \Phi(0.15) - 1 \] 其中，$\Phi(0.15)$是标准正态分布的 cumulative distribution function (CDF) 在 $0.15$ 处的值。根据题目给定的值，$\Phi(0.15) = 0.5596$。因此，我们有： \[ P\left(-0.15 < Z < 0.15\right) = 2 \times 0.5596 - 1 = 1.1192 - 1 = 0.1192 \] 所以，样本均值落在5.7到6.3之间的概率是 $\boxed{0.1192}$。