题目
变量 X 与 Y 的相关系数的符号取决于 变量 Y 的方差 变量 X 和 变量 Y 的协方差 变量 X 和 Y 的方差 变量 X 的方差
变量 X 与 Y 的相关系数的符号取决于
变量 Y 的方差
变量 X 和 变量 Y 的协方差
变量 X 和 Y 的方差
变量 X 的方差
题目解答
答案
相关系数是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标。相关系数是按积差方法计算，同样以两变量与各自平均值的离差为基础，通过两个离差相乘来反映两变量之间相关程度；
由于标准差总是正值,因此相关系数的符号取决于两个变量的协方差的符号。
解析
相关系数的符号由协方差决定。相关系数公式为：
$r = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \cdot \sigma_Y}$
其中，$\sigma_X$ 和 $\sigma_Y$ 是标准差，始终为正数。因此，分子协方差 $\text{Cov}(X,Y)$ 的符号直接决定了相关系数 $r$ 的符号。其他选项（如方差）均为非负数，无法影响符号。
关键步骤解析
- 相关系数公式：
$r = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\text{Var}(X)} \cdot \sqrt{\text{Var}(Y)}}$
分母为两个标准差的乘积，始终为正。 - 符号决定因素：
分子 $\text{Cov}(X,Y)$ 可正、可负、可零，其符号直接决定 $r$ 的符号。 - 排除干扰项：
- 方差 $\text{Var}(X)$ 和 $\text{Var}(Y)$ 均为非负数，符号恒正。
- 变量组合的方差（如 $\text{Var}(X+Y)$）与符号无关。