题目
1.设总体X服从参数为λ的指数分布，即其概率密度为f(x;lambda)=}lambda e^-lambda x,x>0,lambda>0,0,x(其他)X_(1),X_(2),...,X_(n)为来自总体X的样本，证明：overline(X)与nminX_{1),X_(2),...,X_(n)}都是(1)/(lambda)的无偏估计量.
1.设总体X服从参数为λ的指数分布，即其概率密度为
$f(x;\lambda)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x},x>0,\\\lambda>0,\\0,x\text{其他}\end{cases}$
$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$为来自总体X的样本，
证明：$\overline{X}$与$n\min\{X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}\}$都是$\frac{1}{\lambda}$的无偏估计量.
题目解答
答案
1. **计算 $\overline{X}$ 的期望值：**
$\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$，
$E(\overline{X}) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(X_i) = \frac{1}{n} \cdot n \cdot \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{\lambda}$。
2. **计算 $n \min\{X_1, X_2, \cdots, X_n\}$ 的期望值：**
设 $Y = \min\{X_1, X_2, \cdots, X_n\}$，
$F_Y(y) = 1 - e^{-n\lambda y}$，
$f_Y(y) = n\lambda e^{-n\lambda y}$，
$E(Y) = \int_0^\infty y n\lambda e^{-n\lambda y} \, dy = \frac{1}{n\lambda}$，
$E(nY) = n \cdot \frac{1}{n\lambda} = \frac{1}{\lambda}$。
**答案：**
$\boxed{\overline{X} \text{ 和 } n \min\{X_1, X_2, \cdots, X_n\} \text{ 都是 } \frac{1}{\lambda} \text{ 的无偏估计量}}$
解析
步骤 1：计算 $\overline{X}$ 的期望值
$\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$，其中 $X_i$ 是来自总体X的样本。由于每个 $X_i$ 都服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，其期望值为 $E(X_i) = \frac{1}{\lambda}$。因此，$\overline{X}$ 的期望值为：
$$
E(\overline{X}) = E\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(X_i) = \frac{1}{n} \cdot n \cdot \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{\lambda}
$$
步骤 2：计算 $n \min\{X_1, X_2, \cdots, X_n\}$ 的期望值
设 $Y = \min\{X_1, X_2, \cdots, X_n\}$，则 $Y$ 的累积分布函数为：
$$
F_Y(y) = P(Y \leq y) = 1 - P(Y > y) = 1 - P(X_1 > y, X_2 > y, \cdots, X_n > y) = 1 - (1 - F_X(y))^n = 1 - e^{-n\lambda y}
$$
其中 $F_X(y)$ 是 $X$ 的累积分布函数。因此，$Y$ 的概率密度函数为：
$$
f_Y(y) = \frac{d}{dy} F_Y(y) = n\lambda e^{-n\lambda y}
$$
$Y$ 的期望值为：
$$
E(Y) = \int_0^\infty y f_Y(y) \, dy = \int_0^\infty y n\lambda e^{-n\lambda y} \, dy = \frac{1}{n\lambda}
$$
因此，$nY$ 的期望值为：
$$
E(nY) = n \cdot E(Y) = n \cdot \frac{1}{n\lambda} = \frac{1}{\lambda}
$$
$\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$，其中 $X_i$ 是来自总体X的样本。由于每个 $X_i$ 都服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，其期望值为 $E(X_i) = \frac{1}{\lambda}$。因此，$\overline{X}$ 的期望值为：
$$
E(\overline{X}) = E\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(X_i) = \frac{1}{n} \cdot n \cdot \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{\lambda}
$$
步骤 2：计算 $n \min\{X_1, X_2, \cdots, X_n\}$ 的期望值
设 $Y = \min\{X_1, X_2, \cdots, X_n\}$，则 $Y$ 的累积分布函数为：
$$
F_Y(y) = P(Y \leq y) = 1 - P(Y > y) = 1 - P(X_1 > y, X_2 > y, \cdots, X_n > y) = 1 - (1 - F_X(y))^n = 1 - e^{-n\lambda y}
$$
其中 $F_X(y)$ 是 $X$ 的累积分布函数。因此，$Y$ 的概率密度函数为：
$$
f_Y(y) = \frac{d}{dy} F_Y(y) = n\lambda e^{-n\lambda y}
$$
$Y$ 的期望值为：
$$
E(Y) = \int_0^\infty y f_Y(y) \, dy = \int_0^\infty y n\lambda e^{-n\lambda y} \, dy = \frac{1}{n\lambda}
$$
因此，$nY$ 的期望值为：
$$
E(nY) = n \cdot E(Y) = n \cdot \frac{1}{n\lambda} = \frac{1}{\lambda}
$$