题目

设随机变量 X 服从正态分布 N(2, sigma^2)，且 P2 A. 对B. 错

设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(2, \sigma^2)$，且 $P\{2 < X \leq 4\} = 0.3$，则 $P\{X < 0\} = 0.2$。

A. 对

B. 错

题目解答

答案

A. 对

解析

本题考查正态分布的性质及概率计算。解题的关键思路是利用正态分布的对称性，将所给区间的概率转化为标准正态分布的形式进行计算。

  1. 已知随机变量$X$服从正态分布$N(2, \sigma^2)$，根据正态分布的性质，若$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，则$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}\sim N(0,1)$，这里$\mu = 2$。
  2. 计算$P\{2 < X \leq 4\}$：
    • 对$P\{2 < X \leq 4\}$进行标准化，$P\{2 < X \leq 4\}=P\left\{\frac{2 - 2}{\sigma} < \frac{X - 2}{\sigma} \leq \frac{4 - 2}{\sigma}\right\}$。
    • 化简可得$P\left\{0 < \frac{X - 2}{\sigma} \leq \frac{2}{\sigma}\right\}$，令$Z=\frac{X - 2}{\sigma}\sim N(0,1)$，则$P\left\{0 < \frac{X - 2}{\sigma} \leq \frac{2}{\sigma}\right\}=\varPhi\left(\frac{2}{\sigma}\right)-\varPhi(0)$。
    • 因为标准正态分布$\varPhi(0)=0.5$，且已知$P\{2 < X \leq 4\} = 0.3$，所以$\varPhi\left(\frac{2}{\sigma}\right)-0.5 = 0.3$。
    • 移项可得$\varPhi\left(\frac{2}{\sigma}\right)=0.3 + 0.5=0.8$。
  3. 计算$P\{X < 0\}$：
    • 同样对$P\{X < 0\}$进行标准化，$P\{X < 0\}=P\left\{\frac{X - 2}{\sigma} < \frac{0 - 2}{\sigma}\right\}$。
    • 令$Z=\frac{X - 2}{\sigma}\sim N(0,1)$，则$P\left\{\frac{X - 2}{\sigma} < \frac{0 - 2}{\sigma}\right\}=\varPhi\left(-\frac{2}{\sigma}\right)$。
    • 根据标准正态分布的性质$\varPhi(-z)=1 - \varPhi(z)$，所以$\varPhi\left(-\frac{2}{\sigma}\right)=1-\varPhi\left(\frac{2}{\sigma}\right)$。
    • 把$\varPhi\left(\frac{2}{\sigma}\right)=0.8$代入可得$\varPhi\left(-\frac{2}{\sigma}\right)=1 - 0.8 = 0.2$，即$P\{X < 0\} = 0.2$。