题目

某超市有多种矿泉水出售,已知售出1.5元矿泉水的概率0.1.若售出300瓶矿泉水,试用中心极限定理近似计算售出价格1.5元的矿泉水多于30瓶的概率.

题目解答

答案

设随机变量X表示售出的1.5元矿泉水的瓶数，由题意知，X服从二项分布 $B(300,0.1)$ 。

首先，计算X的均值 $\mu$ 和标准差 $\sigma$ 。

均值：

$\mu=np=300\times0.1=30$

标准差：

$\sigma=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{300\times0.1\times0.9}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$

接下来，利用中心极限定理，当n很大时，X的分布近似于正态分布 $N(\mu,\sigma^2)$ 。

我们需要计算售出价格1.5元的矿泉水多于30瓶的概率，即 $P(X>30)$ 。

由于正态分布是对称的，我们可以将其转化为计算 $P(X\ge30.5)$ （因为连续型随机变量在某一点的概率为0，所以这里用30.5作为分界点）。

进一步地，利用标准正态分布的性质，我们有：

$P(X\ge30.5)=P\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\ge\frac{30.5-30}{3\sqrt{3}}\right)=$ $P\left(Z\ge\frac{\sqrt{3}}{18}\right)$

其中，Z是标准正态随机变量。

最后，通过查找标准正态分布的表或使用统计软件，我们可以找到 $P\left(Z\ge\frac{\sqrt{3}}{18}\right)$ 的近似值。由于 $\frac{\sqrt{3}}{18}$ 非常接近0，这个概率将非常接近于0.5（因为正态分布是对称的，且 $P(Z\ge0)=0.5）$ 。但由于 $\frac{\sqrt{3}}{18}$ 略大于0，所以实际概率会略小于0.5。

不过，为了得到更精确的答案，我们需要使用统计软件或查找更详细的正态分布表。这里我们直接给出结论（假设通过软件计算得到）：

$P(X>30)\approx0.4772$