题目

设X~N（3,4）(1)求P｛2＜X≤5｝,P｛-4＜X≤10｝,P｛｜X｜＞2｝,P｛X＞3｝(2)确定c使得P｛X＞c｝=P｛X≤c｝

设X~N（3,4）(1)求P｛2＜X≤5｝,P｛-4＜X≤10｝,P｛｜X｜＞2｝,P｛X＞3｝(2)确定c使得P｛X＞c｝=P｛X≤c｝

题目解答

答案

N(3,4),则[(x-3)/2]~N(0,1),所以P(2＜X≤5)=P(-0.5＜[(X-3)/2]≤1)=1-P(x≤-0.5)-P(X＞1)=1-0.3085-0.1587=0.5328,P(-4＜X≤10)=P(-3.5＜[(X-3)/2]≤3.5)≈1,P(｜X｜＞2)=P(X＞2)+P(X＜-2)=P(X＞-0.5)+P(X＜-2.5)=0.6915+0.0062=0.6977,P(X＞3)=P([(X-3)/2]＞0)=0.5,关于第二问,必然是P(X＞c)=0.5,因为知道P([(X-3)/2]＞0)=0.5,所以c=0×2+3=3

解析

考查要点：本题主要考查正态分布的概率计算及对称性应用，需要掌握标准化转换和标准正态分布表的使用。

解题核心思路：

  1. 标准化转换：将任意正态分布转化为标准正态分布，利用已知的标准正态分布表查概率。
  2. 对称性应用：利用正态分布的对称性快速判断特殊点的概率（如均值处概率为0.5）。

破题关键点：

  • 参数识别：明确正态分布的均值$\mu=3$，标准差$\sigma=2$。
  • 区间转换：将原始变量$X$的区间转化为标准正态变量$Z=\frac{X-3}{2}$的区间。
  • 分段计算：对绝对值概率问题拆分为左右两部分分别计算。

第（1）题

P｛2＜X≤5｝

  1. 标准化：
    $Z_1 = \frac{2-3}{2} = -0.5$，$Z_2 = \frac{5-3}{2} = 1$
    对应概率为：
    $P(-0.5 < Z \leq 1) = \Phi(1) - \Phi(-0.5)$
    其中$\Phi(1) \approx 0.8413$，$\Phi(-0.5) = 1 - \Phi(0.5) \approx 0.3085$
    结果：$0.8413 - 0.3085 = 0.5328$

P｛-4＜X≤10｝

  1. 标准化：
    $Z_1 = \frac{-4-3}{2} = -3.5$，$Z_2 = \frac{10-3}{2} = 3.5$
    标准正态分布在$-3.5$到$3.5$之间的概率接近1（尾部概率极小）。
    结果：$\approx 1$

P｛｜X｜＞2｝

  1. 拆分区间：
    $P(X > 2) + P(X < -2)$
  2. 标准化：
    • $X=2$时，$Z = \frac{2-3}{2} = -0.5$，$P(X > 2) = 1 - \Phi(-0.5) \approx 0.6915$
    • $X=-2$时，$Z = \frac{-2-3}{2} = -2.5$，$P(X < -2) = \Phi(-2.5) \approx 0.0062$
      结果：$0.6915 + 0.0062 = 0.6977$

P｛X＞3｝

  1. 对称性：
    $X$的均值为3，故$P(X > 3) = 0.5$
    结果：$0.5$

第（2）题

  1. 对称点分析：
    要求$P(X > c) = P(X \leq c)$，即$c$为分布的对称中心，即均值$\mu=3$。
    结果：$c=3$