考虑时间序列1，2，3，4，5，6，…，20。（1）这个序列平稳吗?（2）对于k=1，2，…，5，计算样本的自相关系数_(k)(k=1,2,... ,6) ;；（3）绘制该样本自相关图，并解释该图形。

平稳性判断：时间序列的平稳性要求其统计特性（均值、方差、自相关函数等）不随时间变化。本题序列呈现明显的线性递增趋势，均值随时间增加，因此非平稳。

自相关系数计算：自相关系数反映序列与自身延迟后的相关性。对于非平稳序列，自相关系数通常衰减缓慢。计算时需注意分子为协方差，分母为方差，公式为：
$\hat{\rho}_k = \frac{\sum_{t=1}^{n-k} (x_t - \bar{x})(x_{t+k} - \bar{x})}{\sum_{t=1}^{n} (x_t - \bar{x})^2}$

自相关图特征：非平稳序列的自相关系数通常呈现拖尾性，即缓慢衰减。本题序列自相关系数可能近似线性递减，与序列的线性趋势相关。

第（1）题

关键点：序列存在明显趋势，均值随时间变化，因此非平稳。

第（2）题

计算步骤

1. 计算均值：$\bar{x} = \frac{1+2+\cdots+20}{20} = 10.5$
2. 计算分子（协方差）：对每个$k$，求$\sum_{t=1}^{20-k} (x_t - 10.5)(x_{t+k} - 10.5)$
3. 计算分母（方差）：$\sum_{t=1}^{20} (x_t - 10.5)^2 = 385$
4. 求比值：$\hat{\rho}_k = \frac{\text{分子}}{385}$

结果：

• $\hat{\rho}_1 \approx 0.8500$
• $\hat{\rho}_2 \approx 0.7015$
• $\hat{\rho}_3 \approx 0.5560$
• $\hat{\rho}_4 \approx 0.4150$
• $\hat{\rho}_5 \approx 0.2805$
• $\hat{\rho}_6 \approx 0.1526$

第（3）题

图形特征：自相关系数随延迟$k$逐渐减小，且衰减速度较慢。解释：序列存在线性趋势，导致自相关系数呈现近似线性递减（如$\hat{\rho}_k \approx \frac{k}{n}$），符合非平稳序列的特性。