题目

3.(填空题)3.设X_(1),...,X_(5)是来自总体X的样本，且Xsim N(0,1)，则k=____时，kcdot(X_(1)^2+X_(2)^2+X_(3)^2)/(X_(4)^2+X_{5)^2}sim F(3,2).3.设X_(1),...,X_(4)是来自总体X的样本，且Xsim N(0,4)，则k=____时，kcdot(X_(1)+X_(2))/(X_(3)+X_{4)}sim t(1).3.设X_(1),...,X_(6)是来自总体X的样本，且Xsim N(0,1)，则k=____时，k[(X_(1)+X_(2)+X_(3))^2+(X_(4)+X_(5)+X_(6))^2]sim chi^2(2).

3.(填空题) 3.设$X_{1},\cdots,X_{5}$是来自总体X的样本，且$X\sim N(0,1)$，则k=____时，$k\cdot\frac{X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+X_{3}^{2}}{X_{4}^{2}+X_{5}^{2}}\sim F(3,2)$. 3.设$X_{1},\cdots,X_{4}$是来自总体X的样本，且$X\sim N(0,4)$，则k=____时，$k\cdot\frac{X_{1}+X_{2}}{X_{3}+X_{4}}\sim t(1)$. 3.设$X_{1},\cdots,X_{6}$是来自总体X的样本，且$X\sim N(0,1)$，则k=____时，$k\left[(X_{1}+X_{2}+X_{3})^{2}+(X_{4}+X_{5}+X_{6})^{2}\right]\sim \chi^{2}(2)$.

题目解答

答案

1. **问题1** $X_1^2 + X_2^2 + X_3^2 \sim \chi^2(3)$，$X_4^2 + X_5^2 \sim \chi^2(2)$。 由 $F$ 分布定义，$\frac{\frac{X_1^2 + X_2^2 + X_3^2}{3}}{\frac{X_4^2 + X_5^2}{2}} \sim F(3,2)$，解得 $k = \frac{2}{3}$。 2. **问题2** $X_1 + X_2 \sim N(0,8)$，$X_3 + X_4 \sim N(0,8)$。 标准化后，$\frac{X_1 + X_2}{2\sqrt{2}} \sim N(0,1)$，$\frac{X_3 + X_4}{2\sqrt{2}} \sim N(0,1)$。 由 $t$ 分布定义，$\frac{\frac{X_1 + X_2}{2\sqrt{2}}}{\left|\frac{X_3 + X_4}{2\sqrt{2}}\right|} \sim t(1)$，即 $\frac{X_1 + X_2}{|X_3 + X_4|} \sim t(1)$，取 $k = 1$。 3. **问题3** $X_1 + X_2 + X_3 \sim N(0,3)$，标准化后 $\frac{X_1 + X_2 + X_3}{\sqrt{3}} \sim N(0,1)$。 故 $\frac{(X_1 + X_2 + X_3)^2}{3} \sim \chi^2(1)$，同理 $\frac{(X_4 + X_5 + X_6)^2}{3} \sim \chi^2(1)$。 两独立 $\chi^2(1)$ 之和服从 $\chi^2(2)$，得 $k = \frac{1}{3}$。 **答案：** 1. $\boxed{\frac{2}{3}}$ 2. $\boxed{1}$ 3. $\boxed{\frac{1}{3}}$

解析

问题1：考查F分布的构造。关键点在于将分子和分母分别标准化为独立的卡方分布，再根据F分布的定义确定比例系数。

问题2：考查t分布的构造。需将分子和分母分别标准化为标准正态变量和卡方变量，注意分母需取绝对值并调整自由度。

问题3：考查卡方分布的性质。需将每个括号内的和标准化为标准正态变量，再通过平方和构造卡方分布，最后确定系数使总和符合指定自由度。

问题1

  1. 分子部分：$X_1^2 + X_2^2 + X_3^2 \sim \chi^2(3)$（3个独立标准正态变量的平方和）。
  2. 分母部分：$X_4^2 + X_5^2 \sim \chi^2(2)$（2个独立标准正态变量的平方和）。
  3. F分布定义：$\frac{\frac{\chi^2(m)}{m}}{\frac{\chi^2(n)}{n}} \sim F(m,n)$。代入得：
    $\frac{\frac{X_1^2 + X_2^2 + X_3^2}{3}}{\frac{X_4^2 + X_5^2}{2}} \sim F(3,2)$
  4. 系数匹配：原式为$k \cdot \frac{X_1^2 + X_2^2 + X_3^2}{X_4^2 + X_5^2}$，需满足：
    $k = \frac{2}{3}$

问题2

  1. 分子部分：$X_1 + X_2 \sim N(0, 8)$（方差为$4+4=8$）。
  2. 分母部分：$X_3 + X_4 \sim N(0, 8)$。
  3. 标准化：
    • 分子：$\frac{X_1 + X_2}{\sqrt{8}} \sim N(0,1)$。
    • 分母：$\frac{X_3 + X_4}{\sqrt{8}} \sim N(0,1)$，其绝对值平方服从$\chi^2(1)$。
  4. t分布定义：$\frac{N(0,1)}{\sqrt{\chi^2(1)/1}} \sim t(1)$。原式需满足：
    $k \cdot \frac{X_1 + X_2}{X_3 + X_4} = \frac{\frac{X_1 + X_2}{\sqrt{8}}}{\left|\frac{X_3 + X_4}{\sqrt{8}}\right|}$
    解得$k = 1$。

问题3

  1. 每个括号的和：
    • $X_1 + X_2 + X_3 \sim N(0, 3)$，标准化后$\frac{X_1 + X_2 + X_3}{\sqrt{3}} \sim N(0,1)$。
    • $(X_1 + X_2 + X_3)^2 / 3 \sim \chi^2(1)$。
    • 同理，$(X_4 + X_5 + X_6)^2 / 3 \sim \chi^2(1)$。
  2. 卡方分布性质：两个独立$\chi^2(1)$之和服从$\chi^2(2)$。因此：
    $k \left[(X_1 + X_2 + X_3)^2 + (X_4 + X_5 + X_6)^2\right] = \frac{(X_1 + X_2 + X_3)^2}{3} + \frac{(X_4 + X_5 + X_6)^2}{3}$
    解得$k = \frac{1}{3}$。