题目

【例12】设lim_(xtoinfty)xln(1+(k)/(x))=lim_(xto0)(sin3x)/(x)，则常数k=____.

【例12】设$\lim_{x\to\infty}x\ln(1+\frac{k}{x})=\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}$，则常数k=____.

题目解答

答案

由题意，首先计算右边的极限： \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{3 \sin 3x}{3x} = 3 \lim_{3x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} = 3 \times 1 = 3. \] 因此，等式变为： \[ \lim_{x \to \infty} x \ln\left(1 + \frac{k}{x}\right) = 3. \] 令 $y = \frac{1}{x}$，则当 $x \to \infty$ 时，$y \to 0$，原式变为： \[ \lim_{y \to 0} \frac{\ln(1 + ky)}{y}. \] 利用等价无穷小代换 $\ln(1 + ky) \sim ky$（当 $y \to 0$ 时），得： \[ \lim_{y \to 0} \frac{ky}{y} = k. \] 因此，$k = 3$。 答案：$\boxed{3}$。

解析

本题主要考查极限的计算，涉及等价无穷小代换以及重要极限公式的运用。解题的关键在于分别计算等式两边的极限，然后根据等式关系求出常数 $k$ 的值。

  1. 计算等式右边的极限：
    • 对于$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}$，为了使用重要极限公式$\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$，我们对原式进行变形。
    • 给分子分母同时乘以$3$，得到$\lim_{x \to 0} \frac{3 \sin 3x}{3x}$。
    • 根据极限的运算法则$\lim_{x \to a} c\cdot f(x)=c\cdot\lim_{x \to a} f(x)$（$c$为常数），可将上式变形为$3 \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x}$。
    • 令$t = 3x$，当$x \to 0$时，$t \to 0$，则$3 \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x}=3 \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t}$。
    • 由重要极限公式$\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$，可得$3 \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t}=3\times1 = 3$。
    • 所以$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}=3$，此时等式变为$\lim_{x \to \infty} x \ln\left(1 + \frac{k}{x}\right) = 3$。
  2. 计算等式左边的极限：
    • 令$y = \frac{1}{x}$，当$x \to \infty$时，$y \to 0$，则$\lim_{x \to \infty} x \ln\left(1 + \frac{k}{x}\right)$可转化为$\lim_{y \to 0} \frac{\ln(1 + ky)}{y}$。
    • 当$y \to 0$时，$\ln(1 + ky)$与$ky$是等价无穷小，即$\ln(1 + ky) \sim ky$。
    • 所以$\lim_{y \to 0} \frac{\ln(1 + ky)}{y}=\lim_{y \to 0} \frac{ky}{y}$。
    • 对$\lim_{y \to 0} \frac{ky}{y}$进行化简，约去$y$可得$\lim_{y \to 0} k = k$。
  3. 求解常数 $k$：
    • 因为$\lim_{x \to \infty} x \ln\left(1 + \frac{k}{x}\right) = 3$且$\lim_{x \to \infty} x \ln\left(1 + \frac{k}{x}\right)=k$，所以$k = 3$。