题目
[ 填空题 ] 设 X、Y 相互独立， X~ N ( 1 , 2 ) , Y ~N ( 2 , 4 ) ，则 2 X + Y ~ _。
[ 填空题 ] 设 X、Y 相互独立， X~ N ( 1 , 2 ) , Y ~N ( 2 , 4 ) ，则 2 X + Y ~ _。
题目解答
答案
N(4,12)；
∵X、Y 相互独立，
∴cov（X，Y）=0
∵ X~ N ( 1 , 2 ) , Y ~N ( 2 , 4 )
∴E(X)=1,D(X)=2,E(Y)=2,D(Y)=4,
∴E(2 X + Y)=2E(X)+E(Y)=4,
D(2 X + Y)=4D(X)+D(Y)-2cov(X,Y)=12
解析
步骤 1：确定随机变量的期望和方差
给定 X~ N ( 1 , 2 ) 和 Y ~N ( 2 , 4 )，其中 N 表示正态分布，第一个参数是期望值，第二个参数是方差。因此，E(X) = 1，D(X) = 2，E(Y) = 2，D(Y) = 4。
步骤 2：计算 2X + Y 的期望
由于期望的线性性质，E(2X + Y) = 2E(X) + E(Y) = 2*1 + 2 = 4。
步骤 3：计算 2X + Y 的方差
由于 X 和 Y 相互独立，cov(X, Y) = 0。因此，D(2X + Y) = 4D(X) + D(Y) + 2cov(X, Y) = 4*2 + 4 + 0 = 12。
给定 X~ N ( 1 , 2 ) 和 Y ~N ( 2 , 4 )，其中 N 表示正态分布，第一个参数是期望值，第二个参数是方差。因此，E(X) = 1，D(X) = 2，E(Y) = 2，D(Y) = 4。
步骤 2：计算 2X + Y 的期望
由于期望的线性性质，E(2X + Y) = 2E(X) + E(Y) = 2*1 + 2 = 4。
步骤 3：计算 2X + Y 的方差
由于 X 和 Y 相互独立，cov(X, Y) = 0。因此，D(2X + Y) = 4D(X) + D(Y) + 2cov(X, Y) = 4*2 + 4 + 0 = 12。