题目
设总体X～N（μ，σ2），X1，X2，⋯，Xn是从总体X中抽取的样本，记overline(X)=(1)/(n)sumlimits_(i=1)^nXi，则P（(|overline(X)-μ|)/(frac(σ){sqrt(n))}＜1）的值（ ）A. 与n有关B. 为一常数C. 与σ有关D. 与μ中有关
设总体X～N（μ，σ2），X1，X2，⋯，Xn是从总体X中抽取的样本，记$\overline{X}$=$\frac{1}{n}$$\sum\limits_{i=1}^{n}$Xi，则P（$\frac{|\overline{X}-μ|}{\frac{σ}{\sqrt{n}}}$＜1）的值（ ）
A. 与n有关
B. 为一常数
C. 与σ有关
D. 与μ中有关
题目解答
答案
B. 为一常数
解析
步骤 1：确定样本均值的分布
由于总体X～N（μ，σ^{2}），根据中心极限定理，样本均值$\overline{X}$的分布为N（μ，$\frac{{σ}^{2}}{n}$）。
步骤 2：标准化样本均值
设Z=$\frac{\overline{X}-μ}{\frac{σ}{\sqrt{n}}}$，则Z～N（0，1），即Z服从标准正态分布。
步骤 3：计算概率
P（$\frac{|\overline{X}-μ|}{\frac{σ}{\sqrt{n}}}$＜1）=P（-1＜Z＜1）=P（0-1＜Z＜0+1）=P（-1＜Z＜1）。
由于Z服从标准正态分布，P（-1＜Z＜1）是一个与n、σ、μ无关的常数，它仅取决于标准正态分布的性质。
由于总体X～N（μ，σ^{2}），根据中心极限定理，样本均值$\overline{X}$的分布为N（μ，$\frac{{σ}^{2}}{n}$）。
步骤 2：标准化样本均值
设Z=$\frac{\overline{X}-μ}{\frac{σ}{\sqrt{n}}}$，则Z～N（0，1），即Z服从标准正态分布。
步骤 3：计算概率
P（$\frac{|\overline{X}-μ|}{\frac{σ}{\sqrt{n}}}$＜1）=P（-1＜Z＜1）=P（0-1＜Z＜0+1）=P（-1＜Z＜1）。
由于Z服从标准正态分布，P（-1＜Z＜1）是一个与n、σ、μ无关的常数，它仅取决于标准正态分布的性质。