任意连续型随机变量的期望和方差都是存在的

考查要点：本题主要考查对连续型随机变量期望和方差存在性的理解，以及是否掌握某些特殊分布可能导致积分发散的情况。

解题核心思路：期望和方差的存在性依赖于积分的收敛性。若概率密度函数在尾部衰减过慢，可能导致积分发散，从而使得期望或方差不存在。

破题关键点：举出反例，例如柯西分布，其概率密度函数为 $\frac{1}{\pi(1+x^2)}$，计算其期望时积分发散，说明存在连续型随机变量的期望和方差不存在。

关键结论：并非所有连续型随机变量的期望和方差都存在。例如，柯西分布的期望和方差均不存在。

具体分析：

1. 期望的计算：
   柯西分布的期望为：
   $E[X] = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x}{\pi(1+x^2)} \, dx$
   由于被积函数 $\frac{x}{1+x^2}$ 在 $x \to \infty$ 时近似为 $\frac{1}{x}$，积分发散，故期望不存在。

2. 方差的计算：
   方差需要先计算期望，而期望已不存在，因此方差也不存在。

结论：存在连续型随机变量（如柯西分布）的期望和方差均不存在，因此原命题错误。