设X~N(1,1),X的概率密度、分布函数分别为f(x)、F(x)，则有（）。A. P(X≤0)=0.5B. f(x)=f(-x),x∈RC. F(x)=1-F(-x),x∈RD. P(X≤1)=0.5

本题考查正态分布的概率密度函数、分布函数的性质以及正态分布的概率计算。解题的关键在于理解正态分布的对称性以及概率密度函数和分布函数的相关概念。

正态分布的基本性质

若随机变量$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，其中$\mu$为均值，$\sigma^{2}$为方差，本题中$X\sim N(1,1)$，即$\mu = 1$，$\sigma^{2}=1$。正态分布的概率密度函数为$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x - \mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}$，分布函数为$F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt$。正态分布的概率密度函数图像关于直线$x = \mu$对称。

对各选项的分析

• 选项A：
  已知$X\sim N(1,1)$，要求$P(X\leq0)$。
  根据正态分布的标准化公式$Z=\frac{X - \mu}{\sigma}$，这里$\mu = 1$，$\sigma = 1$，则$P(X\leq0)=P\left(\frac{X - 1}{1}\leq\frac{0 - 1}{1}\right)=P(Z\leq - 1)$。
  由标准正态分布的性质可知$\varPhi(-z)=1-\varPhi(z)$（$\varPhi(z)$为标准正态分布的分布函数），所以$P(Z\leq - 1)=\varPhi(-1)=1-\varPhi(1)$。
  因为$\varPhi(1)\neq0.5$，所以$P(X\leq0)\neq0.5$，A选项错误。
• 选项B：
  已知$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x - \mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}$，$\mu = 1$，$\sigma = 1$，则$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x - 1)^{2}}{2}}$。
  $f(-x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(-x - 1)^{2}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x + 1)^{2}}{2}}$。
  显然$f(x)\neq f(-x)$，B选项错误。
• 选项C：
  因为$F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt$，$1 - F(-x)=1-\int_{-\infty}^{-x}f(t)dt=\int_{-x}^{+\infty}f(t)dt$。
  由于正态分布的概率密度函数图像关于$x = \mu = 1$对称，而不是关于$x = 0$对称，所以$F(x)\neq1 - F(-x)$，C选项错误。
• 选项D：
  因为正态分布$X\sim N(1,1)$的概率密度函数图像关于直线$x = \mu = 1$对称，所以$P(X\leq1)=0.5$，D选项正确。