从100家自选商场销售额资料(x,亿元)和利润额(y,亿元)资料计算得知:n=100,∑X=10,∑Y=20,∑X2=1.5,∑Y2=50,∑XY=3。根据以上数据,(1)求出利润额对销售额的直线回归方程;(2)预测当销售额为0.5亿元时,利润额在置信度为95.45%的预测区间(已知预测标准误差为0.05亿元)。

步骤 1：计算回归系数
根据给定的数据，我们首先计算回归系数${\beta }_{2}$。回归系数${\beta }_{2}$的计算公式为：
$${\beta }_{2}=\dfrac {n\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}-\sum _{i=1}^{n}x_{i}\sum _{i=1}^{n}y_{i}}{n\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}-(\sum _{i=1}^{n}x_{i})^{2}}$$
将给定的数据代入公式中，得到：
$${\beta }_{2}=\dfrac {100\times 3-10\times 20}{100\times 1.5-10^{2}}=\dfrac {300-200}{150-100}=\dfrac {100}{50}=2$$
步骤 2：计算截距
接下来，我们计算截距${\beta }_{1}$。截距${\beta }_{1}$的计算公式为：
$${\beta }_{1}=\overline {Y}-{\beta }_{2}\overline {X}$$
其中，$\overline {X}=\dfrac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}}{n}$，$\overline {Y}=\dfrac {\sum _{i=1}^{n}y_{i}}{n}$。将给定的数据代入公式中，得到：
$${\beta }_{1}=\dfrac {20}{100}-2\times \dfrac {10}{100}=\dfrac {20}{100}-\dfrac {20}{100}=0$$
步骤 3：写出回归方程
根据计算得到的回归系数和截距，写出利润额对销售额的直线回归方程：
$$Y=2X$$
步骤 4：预测利润额
当销售额为0.5亿元时，将X=0.5代入回归方程中，得到：
$$Y=2\times 0.5=1$$
步骤 5：计算预测区间
置信度为95.45%的预测区间为：
$$Y-2\times 0.05\leqslant Y\leqslant Y+2\times 0.05$$
将Y=1代入公式中，得到：
$$1-2\times 0.05\leqslant Y\leqslant 1+2\times 0.05$$
即：
$$0.9\leqslant Y\leqslant 1.1$$