函数f(x)=sqrt(x)的导数是()。A. 1/(2sqrt(x))B. sqrt(x)C. 1/sqrt(x)D. 2sqrt(x)

考查要点：本题主要考查导数的定义及其计算，特别是对根号函数求导的掌握。
解题思路：利用导数的定义式，通过分子有理化化简表达式，再结合极限的运算规则求解。
关键点：

1. 分子有理化是破题的核心步骤，通过乘以共轭表达式消去根号。
2. 化简后需注意约分，并正确代入极限值。

步骤1：应用导数定义

根据导数的定义，函数 $f(x) = \sqrt{x}$ 的导数为：
$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sqrt{x + \Delta x} - \sqrt{x}}{\Delta x}$

步骤2：分子有理化

为消除分母中的根号，对分子进行有理化处理：
$\begin{aligned}f'(x) &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sqrt{x + \Delta x} - \sqrt{x}}{\Delta x} \cdot \frac{\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}}{\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}} \\&= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x + \Delta x) - x}{\Delta x (\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x})}\end{aligned}$

步骤3：化简表达式

分子化简后为 $\Delta x$，分母保留原式：
$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta x (\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x})} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}}$

步骤4：代入极限

当 $\Delta x \to 0$ 时，$\sqrt{x + \Delta x} \to \sqrt{x}$，因此：
$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$