1. 设某快餐店午餐有三种套餐出售，其价格分别为20元、25元、30元，而每位顾客选择套餐是相互独立的，且选择三种套餐的概率分别为0.6，0.2，0.2.试用中心极限定理求售出的100份套餐的总收入在2200元到2340元之间的概率是多少？

考查要点：本题主要考查中心极限定理的应用，涉及期望与方差的计算以及正态分布的标准化转换。

解题核心思路：

1. 确定单次购买金额的期望与方差：根据题目给出的概率和价格，计算每个顾客消费金额的期望值 $E(X_i)$ 和方差 $D(X_i)$。
2. 求总和的期望与方差：利用独立同分布随机变量和的性质，得到总和 $S = \sum_{i=1}^{100} X_i$ 的期望 $E(S)$ 和方差 $D(S)$。
3. 应用中心极限定理：将 $S$ 近似视为正态分布，通过标准化转换为标准正态分布，计算所求区间的概率。

破题关键点：

• 正确计算期望与方差：注意方差的计算需先求 $E(X_i^2)$。
• 标准化转换：将区间端点转换为标准正态分布的 $Z$ 值，利用标准正态分布表查概率。

1. 计算单次购买金额的期望与方差

设 $X_i$ 表示第 $i$ 位顾客的消费金额，其概率分布为：

• $X_i = 20$ 元，概率 $0.6$；
• $X_i = 25$ 元，概率 $0.2$；
• $X_i = 30$ 元，概率 $0.2$。

期望：
$E(X_i) = 20 \times 0.6 + 25 \times 0.2 + 30 \times 0.2 = 23 \text{元}$

方差：

1. 计算 $E(X_i^2)$：
   $E(X_i^2) = 20^2 \times 0.6 + 25^2 \times 0.2 + 30^2 \times 0.2 = 545$
2. 方差为：
   $D(X_i) = E(X_i^2) - [E(X_i)]^2 = 545 - 23^2 = 16$

2. 计算总和的期望与方差

总和 $S = \sum_{i=1}^{100} X_i$ 的期望与方差为：
$E(S) = 100 \times 23 = 2300 \text{元}, \quad D(S) = 100 \times 16 = 1600$
标准差：
$\sigma_S = \sqrt{D(S)} = 40$

3. 应用中心极限定理

由中心极限定理，$S$ 近似服从正态分布 $N(2300, 1600)$。标准化后：
$Z = \frac{S - 2300}{40}$
所求概率为：
$P(2200 \leq S \leq 2340) = P\left(-2.5 \leq Z \leq 1\right)$

4. 查标准正态分布表

• $\Phi(1) \approx 0.8413$（对应 $Z=1$）；
• $\Phi(-2.5) \approx 0.0062$（对应 $Z=-2.5$）。

最终概率：
$$
P \approx 0.8413 - 0.0062 = 0.8351

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