题目

设X Y是相互独立的随机变量,且都服从(0,1)上的均匀分布.求E(X,Y)，D(X,Y)，E(XY)D(XY).

题目解答

答案

计算E(X, Y)： $E(X,Y)=E(X)E(Y)=0.5\times0.5=0.25$

计算D(X, Y)： $D(X,Y)=E(X^2)E(Y^2)-[E(X)]^2[E(Y)]^2$ $=\frac{1}{12}\frac{1}{12}-(0.5)^2(0.5)^2=\frac{1}{144}-\frac{1}{16}=\frac{1}{144}-\frac{9}{144}=-\frac{8}{144}=-\frac{1}{18}$

计算E(XY)： $E(XY)=E(X)E(Y)==0.5\times0.5=0.25$

计算D(XY)： $D(XY)=E(X^2Y^2)-[E(XY)]^2$ $=\frac{1}{3}-(0.25)^2=\frac{1}{3}-\frac{1}{16}=\frac{16}{48}-\frac{3}{48}=\frac{13}{48}$

解析

步骤 1：计算E(X, Y)
由于X和Y是相互独立的随机变量，且都服从(0,1)上的均匀分布，因此E(X) = E(Y) = 0.5。根据期望的性质，E(X,Y) = E(X)E(Y)。
步骤 2：计算D(X, Y)
D(X,Y) = E(X^2)E(Y^2) - [E(X)]^2[E(Y)]^2。由于X和Y都服从(0,1)上的均匀分布，E(X^2) = E(Y^2) = 1/3。因此，D(X,Y) = 1/3 * 1/3 - (0.5)^2 * (0.5)^2。
步骤 3：计算E(XY)
由于X和Y是相互独立的随机变量，E(XY) = E(X)E(Y)。
步骤 4：计算D(XY)
D(XY) = E(X^2Y^2) - [E(XY)]^2。由于X和Y都服从(0,1)上的均匀分布，E(X^2Y^2) = 1/3。因此，D(XY) = 1/3 - (0.25)^2。