有150个产品，工作到t=20h时，失效50个，再工作1h，又失效2个，求t=20h的失效率估计值hat(lambda)(20)和失效概率密度估计值hat(f)(20)。

本题主要考查失效率和失效概率密度的估计值计算，解题思路如下：

1. 计算$t = 20h$时的失效率估计值$\hat{\lambda}(20)$
   • 失效率的定义是单位时间内产品的失效数与此时仍在正常工作的产品数之比。
   • 已知总共有$150$个产品，工作到$t = 20h$时，失效$50$个，那么此时仍在正常工作的产品数$N(20)$为：
     $N(20)=150 - 50=100$（个）
   • 再工作$1h$，又失效$2$个，即从$t = 20h$到$t = 21h$这$1h$内的失效数$\Delta N$为$2$个。
   • 根据失效率的计算公式$\hat{\lambda}(t)=\frac{\Delta N}{N(t)\Delta t}$（其中$\Delta N$是$\Delta t$时间内的失效数，$N(t)$是$t$时刻仍在正常工作的产品数），这里$\Delta t = 1h$，可得：
     $\hat{\lambda}(20)=\frac{2}{100\times1}=0.02$（次/小时）
2. 计算$t = 20h$时的失效概率密度估计值$\hat{f}(20)$
   • 失效概率密度$f(t)$与失效率$\lambda(t)$和可靠度$R(t)$的关系为$f(t)=\lambda(t)R(t)$。
   • 可靠度$R(t)$的定义是$t$时刻产品仍在正常工作的概率，计算公式为$R(t)=\frac{N(t)}{N_0}$（其中$N_0$是产品的总数，$N(t)$是$t$时刻仍在正常工作的产品数）。
   • 已知$N_0 = 150$，$N(20)=100$，则$t = 20h$时的可靠度$R(20)$为：
     $R(20)=\frac{100}{150}=\frac{2}{3}$
   • 由前面已求得$\hat{\lambda}(20)=0.02$次/小时，将$\hat{\lambda}(20)$和$R(20)$代入$f(t)=\lambda(t)R(t)$，可得：
     $\hat{f}(20)=\hat{\lambda}(20)\times R(20)=0.02\times\frac{2}{3}=\frac{0.04}{3}\approx0.01333$（次/小时）