题目

6.(单选题，4.0分)某工厂有两条生产线(生产线A和生产线B)生产同一种零件。为了比较两条生产线的平均生产时间(单位:分钟是否有显著差异，质量管理部门从生产线A随机抽取4个零件，计算得其生产时间的样本均值bar(X)=11.75，样本方差S_(1)^2=2.9;从生产线B随机抽取5个零件，计算得其生产时间的样本均值bar(Y)=13，样本方差S_(2)^2=2.5.假设两条生产线的生产时间均服从正态分布，且方差未知但相等。为检验两条生产线的平均生产时间是否有显著差异，所用的检验统计量及检验结果为( ).(显著性水平α=0.05，t_(0.025)(7)=2.3645，t_(0.05)(7)=1.8946，u_(0.025)=1.96，u_(0.05)=1.65)A T=(bar(X)-bar(Y))/(sqrt(frac(1){4)+(1)/(5))sqrt((3S_(1)^2+4S_{2)^2)/(7)}}H_(0)t(7)，无显著差异B T=(bar(X)-bar(Y))/(sqrt(frac(1){4)+(1)/(5))sqrt((3S_(1)^2+4S_{2)^2)/(7)}}H_(0)t(7)，有显著差异

6.(单选题，4.0分) 某工厂有两条生产线(生产线A和生产线B)生产同一种零件。为了比较两条生产线的平均生产时间(单位:分钟是否有显著差异，质量管理部门从生产线A随机抽取4个零件，计算得其生产时间的样本均值$\bar{X}=11.75$，样本方差$S_{1}^{2}=2.9$;从生产线B随机抽取5个零件，计算得其生产时间的样本均值$\bar{Y}=13$，样本方差$S_{2}^{2}=2.5$.假设两条生产线的生产时间均服从正态分布，且方差未知但相等。为检验两条生产线的平均生产时间是否有显著差异，所用的检验统计量及检验结果为( ).(显著性水平α=0.05，$t_{0.025}(7)=2.3645$，$t_{0.05}(7)=1.8946$，$u_{0.025}=1.96$，$u_{0.05}=1.65$) A $T=\frac{\bar{X}-\bar{Y}}{\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{5}}\sqrt{\frac{3S_{1}^{2}+4S_{2}^{2}}{7}}}H_{0}t(7)$，无显著差异 B $T=\frac{\bar{X}-\bar{Y}}{\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{5}}\sqrt{\frac{3S_{1}^{2}+4S_{2}^{2}}{7}}}H_{0}t(7)$，有显著差异

题目解答

答案

检验统计量 $ T $ 的公式为： \[ T = \frac{\bar{X} - \bar{Y}}{\sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}} \sqrt{S_p^2}} \] 其中，合并方差 $ S_p^2 = \frac{(n_1 - 1)S_1^2 + (n_2 - 1)S_2^2}{n_1 + n_2 - 2} $。 代入已知数据，计算得： \[ S_p^2 = \frac{3 \times 2.9 + 4 \times 2.5}{7} = \frac{18.7}{7} \] \[ T = \frac{11.75 - 13}{\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{5}} \sqrt{\frac{18.7}{7}}} \approx -1.140 \] 双侧检验，自由度 $ df = 7 $，临界值 $ t_{0.025}(7) = 2.3645 $。 因 $ |T| \approx 1.140 < 2.3645 $，不拒绝原假设。 答案：$\boxed{A}$

解析

考查要点：本题主要考查独立样本t检验的应用，特别是当两总体方差未知但相等时的检验方法。
解题核心思路：

  1. 确定检验类型：由于比较两独立样本的均值差异，且方差未知但相等，需使用合并方差的t检验。
  2. 构造检验统计量：公式为 $T = \frac{\bar{X} - \bar{Y}}{\sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}} \sqrt{S_p^2}}$，其中合并方差 $S_p^2 = \frac{(n_1-1)S_1^2 + (n_2-1)S_2^2}{n_1 + n_2 - 2}$。
  3. 判断临界值与自由度：自由度为 $df = n_1 + n_2 - 2 = 7$，双侧检验临界值为 $t_{0.025}(7) = 2.3645$。
  4. 比较统计量与临界值：若 $|T| > t_{0.025}(7)$，则拒绝原假设，否则不拒绝。

步骤1：计算合并方差 $S_p^2$

根据公式：
$S_p^2 = \frac{(n_1 - 1)S_1^2 + (n_2 - 1)S_2^2}{n_1 + n_2 - 2} = \frac{3 \times 2.9 + 4 \times 2.5}{7} = \frac{18.7}{7} \approx 2.671$

步骤2：计算检验统计量 $T$

$T = \frac{\bar{X} - \bar{Y}}{\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{5}} \sqrt{S_p^2}} = \frac{11.75 - 13}{\sqrt{0.45} \times \sqrt{2.671}} \approx \frac{-1.25}{1.095} \approx -1.140$

步骤3：判断检验结果

  • 自由度：$df = 7$
  • 临界值：$t_{0.025}(7) = 2.3645$
  • 比较：$|T| \approx 1.140 < 2.3645$，故不拒绝原假设，即两条生产线的平均生产时间无显著差异。