题目

4.[填空题]已知P(A)=0.2,P(Amid B)=0.3, P(Bmid A)=0.4，则P(overline(A)cup B)=_(写成小数,保留两位小数)。

4.[填空题]已知 P(A)=0.2,$P(A\mid B)=0.3$, $P(B\mid A)=0.4$， 则$P(\overline{A}\cup B)$=_(写成小数,保留两位小数)。

题目解答

答案

已知条件： - $P(A) = 0.2$ - $P(A|B) = 0.3$ - $P(B|A) = 0.4$ **步骤1：计算 $P(AB)$** 由 $P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)}$，得 $P(AB) = P(B|A) \cdot P(A) = 0.4 \times 0.2 = 0.08$。 **步骤2：计算 $P(B)$** 由 $P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$，得 $P(B) = \frac{P(AB)}{P(A|B)} = \frac{0.08}{0.3} = \frac{4}{15}$。 **步骤3：计算 $P(\overline{A} \cup B)$** 利用补集公式： \[ P(\overline{A} \cup B) = 1 - P(A \cap \overline{B}) = 1 - (P(A) - P(AB)) = 1 - (0.2 - 0.08) = 0.88 \] **答案：** $\boxed{0.88}$

解析

考查要点：本题主要考查条件概率的计算、事件的运算关系以及补集思想的应用。

解题核心思路：

  1. 利用条件概率公式计算联合概率$P(AB)$；
  2. 通过联合概率求$P(B)$；
  3. 将目标概率$P(\overline{A} \cup B)$转化为补集形式，简化计算。

破题关键点：

  • 条件概率公式的灵活应用：通过已知的条件概率反推联合概率或边缘概率。
  • 德摩根定律：将并集概率转化为交集的补集，避免直接展开的复杂计算。

步骤1：计算联合概率$P(AB)$

根据条件概率公式：
$P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)}$
代入已知$P(B|A)=0.4$和$P(A)=0.2$，得：
$P(AB) = 0.4 \times 0.2 = 0.08$

步骤2：计算$P(B)$

根据条件概率公式：
$P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$
代入已知$P(A|B)=0.3$和$P(AB)=0.08$，得：
$P(B) = \frac{0.08}{0.3} = \frac{4}{15} \approx 0.2667$

步骤3：计算$P(\overline{A} \cup B)$

利用德摩根定律：
$P(\overline{A} \cup B) = 1 - P(A \cap \overline{B})$
其中，$P(A \cap \overline{B})$表示$A$发生但$B$不发生的概率，可表示为：
$P(A \cap \overline{B}) = P(A) - P(AB) = 0.2 - 0.08 = 0.12$
因此：
$P(\overline{A} \cup B) = 1 - 0.12 = 0.88$