题目

6.填空题 A,B,C,D是四个随机变量,A.的值域是(a1,a2),B.的值域是(b1,b2,b3),C.的值域是(c1,c2,c3,c4,c5),D.的值域是(d1,d2,d3,d4,d5,d6,d7)给定因子P(A|B),P(B|C),和P(C),对C变量消元,产生新的因子维度是 underline(输入答案)，元素个数为 underline(输入答案)。

6.填空题 A,B,C,D是四个随机变量,
A.的值域是{a1,a2},
B.的值域是{b1,b2,b3},
C.的值域是{c1,c2,c3,c4,c5},
D.的值域是{d1,d2,d3,d4,d5,d6,d7}给定因子P(A|B),P(B|C),和P(C),对C变量消元,产生新的因子维度是 $\underline{输入答案}$，元素个数为 $\underline{输入答案}$。

题目解答

答案

为了解决这个问题，我们需要理解在贝叶斯网络中对变量 $ C $ 消元的过程。给定的因子是 $ P(A|B) $, $ P(B|C) $, 和 $ P(C) $。当我们对 $ C $ 消元时，我们需要计算 $ B $ 的边缘概率，这将产生一个新的因子，涉及 $ A $ 和 $ B $。 让我们一步步来分析： 1. **识别变量的值域：** - $ A $ 的值域是 $ \{a_1, a_2\} $。 - $ B $ 的值域是 $ \{b_1, b_2, b_3\} $。 - $ C $ 的值域是 $ \{c_1, c_2, c_3, c_4, c_5\} $。 - $ D $ 的值域是 $ \{d_1, d_2, d_3, d_4, d_5, d_6, d_7\} $。 2. **对 $ C $ 消元：** - 我们从因子 $ P(A|B) $, $ P(B|C) $, 和 $ P(C) $ 开始。 - 对 $ C $ 消元意味着我们需要对 $ C $ 的所有可能值求和 $ P(B|C) \cdot P(C) $。这将产生 $ B $ 的边缘概率，即 $ P(B) $。 - 新的因子将涉及 $ A $ 和 $ B $，即 $ P(A|B) \cdot P(B) $。 3. **确定新因子的维度：** - 新因子 $ P(A|B) \cdot P(B) $ 的维度将与 $ P(A|B) $ 的维度相同，因为 $ P(B) $ 是一个关于 $ B $ 的单变量分布，将作为 $ P(A|B) $ 的每一行的常数因子。 - $ P(A|B) $ 的维度是 $ |A| \times |B| = 2 \times 3 $。 4. **计算新因子的元素个数：** - 新因子的元素个数是 $ 2 \times 3 = 6 $。 因此，新因子的维度是 $ 2 \times 3 $，元素个数是 $ 6 $。 最终答案是： \[ \boxed{2 \times 3} \] \[ \boxed{6} \]

解析

考查要点：本题主要考查贝叶斯网络中的变量消元法，涉及因子相乘与求和操作，以及消元后新因子维度和元素个数的计算。

解题核心思路：

  1. 识别相关因子：确定参与消元的因子（P(B|C)和P(C)），以及与消元变量C相关的其他因子（P(A|B)）。
  2. 消元操作：对C求和，将P(B|C)和P(C)合并得到P(B)，再与P(A|B)相乘，得到新因子P(A,B)。
  3. 维度推导：新因子的维度由剩余变量A和B的取值组合决定。

破题关键点：

  • 消元后变量关系：消去C后，新因子仅涉及A和B。
  • 维度计算：新因子的维度是A和B取值数的乘积。

步骤1：消元前的因子分析

  • P(A|B)：维度为$|A| \times |B| = 2 \times 3$，表示A在给定B下的条件概率。
  • P(B|C)：维度为$|B| \times |C| = 3 \times 5$，表示B在给定C下的条件概率。
  • P(C)：维度为$|C| = 5$，表示C的先验概率。

步骤2：对C消元

  1. 合并P(B|C)和P(C)：

    • 将P(B|C)与P(C)相乘，得到联合概率P(B,C)的维度为$3 \times 5$。
    • 对C的所有取值求和，得到B的边缘概率P(B)，维度为$3$。

  2. 与P(A|B)相乘：

    • 将P(A|B)（$2 \times 3$）与P(B)（$3$）相乘，得到新因子P(A,B)，维度为$2 \times 3$。

步骤3：确定维度和元素个数

  • 维度：新因子涉及A和B，维度为$|A| \times |B| = 2 \times 3$。
  • 元素个数：维度对应的元素总数为$2 \times 3 = 6$。