题目
用传统工艺加工某种水果罐头，每瓶中维生素C的含量为随机变量X(单位：mg)。设X～N(μ,σ2)，其中μ,σ2均未知。现抽查16瓶罐头进行测试，测得维生素C的平均含量为20.80mg，样本标准差为1.60mg，试求μ的置信度95％置信区间。(附：t0.025(15)＝2.13，t0.025(16)＝2.12)隐藏答案
用传统工艺加工某种水果罐头，每瓶中维生素C的含量为随机变量X(单位：mg)。设X～N(μ,σ2)，其中μ,σ2均未知。现抽查16瓶罐头进行测试，测得维生素C的平均含量为20.80mg，样本标准差为1.60mg，试求μ的置信度95％置信区间。(附：t0.025(15)＝2.13，t0.025(16)＝2.12)
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题目解答
答案
[19.9480,21.6520]
解析
步骤 1：确定样本均值和样本标准差
根据题目，样本均值 \(\bar{x} = 20.80\) mg，样本标准差 \(s = 1.60\) mg，样本容量 \(n = 16\)。
步骤 2：确定置信水平和自由度
置信水平为95%，即 \(\alpha = 0.05\)，自由度 \(df = n - 1 = 15\)。
步骤 3：查找t分布表中的临界值
根据自由度 \(df = 15\) 和置信水平95%，查t分布表得到临界值 \(t_{\alpha/2} = t_{0.025}(15) = 2.13\)。
步骤 4：计算置信区间
置信区间的计算公式为 \(\bar{x} \pm t_{\alpha/2} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}\)。
将已知数值代入公式，得到：
\[20.80 \pm 2.13 \cdot \frac{1.60}{\sqrt{16}}\]
\[20.80 \pm 2.13 \cdot \frac{1.60}{4}\]
\[20.80 \pm 2.13 \cdot 0.4\]
\[20.80 \pm 0.852\]
\[19.948 \leq \mu \leq 21.652\]
根据题目，样本均值 \(\bar{x} = 20.80\) mg，样本标准差 \(s = 1.60\) mg，样本容量 \(n = 16\)。
步骤 2：确定置信水平和自由度
置信水平为95%，即 \(\alpha = 0.05\)，自由度 \(df = n - 1 = 15\)。
步骤 3：查找t分布表中的临界值
根据自由度 \(df = 15\) 和置信水平95%，查t分布表得到临界值 \(t_{\alpha/2} = t_{0.025}(15) = 2.13\)。
步骤 4：计算置信区间
置信区间的计算公式为 \(\bar{x} \pm t_{\alpha/2} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}\)。
将已知数值代入公式，得到：
\[20.80 \pm 2.13 \cdot \frac{1.60}{\sqrt{16}}\]
\[20.80 \pm 2.13 \cdot \frac{1.60}{4}\]
\[20.80 \pm 2.13 \cdot 0.4\]
\[20.80 \pm 0.852\]
\[19.948 \leq \mu \leq 21.652\]