题目

设X1,X2是相互独立的随机变量,则 (2(X)_(1)+(X)_(2))=( )设X1,X2是相互独立的随机变量,则 (2(X)_(1)+(X)_(2))=( )设X1,X2是相互独立的随机变量,则 (2(X)_(1)+(X)_(2))=( ) 设X1,X2是相互独立的随机变量,则 (2(X)_(1)+(X)_(2))=( )设X1,X2是相互独立的随机变量,则 (2(X)_(1)+(X)_(2))=( )

$设X_1,X_2是相互独立的随机变量,则D(2X_1+X_2)=()$ $A\ \ \ 4D(X_1)+D(X_2)$

$B\ \ 4D(X_1)-D(X_2)$

$C\ \ 2D(X_1)+D(X_2)$

$D\ \ 2D(X_1)-D(X_2)$

题目解答

$对于任意常数a和随机变量X,有D(aX)=a^2D(X)$

$对于相互独立的随机变量X_1和X_2,有D(X_1+X_2)=D(X_1)+D(X_2)$

令 $Y=2X_1+X_2$

$根据方差的性质，D(Y)=D(2X_1+X_2)$

$对于2X_1,根据D(aX)=a^2D(X),有D(2X_1)=2^2D(X_1)=4D(X_1)$

$对于X_2,有D\left(X_2\right)$

$根据D(X_1+X_2)=D(X_1)+D(X_2),有D(2X_1+X_2)=D(2X_1)+D(X_2)$

$代入D(2X_1)=4D(X_1),得到D(2X_1+X_2)=4D(X_1)+D(X_2)$

则本题选择A选项

考查要点：本题主要考查方差的性质，特别是常数乘随机变量的方差和独立随机变量和的方差。

解题核心思路：

破题关键：
将$2X_1 + X_2$分解为$2X_1$和$X_2$两部分，分别计算方差后相加。

步骤1：计算$2X_1$的方差
根据方差性质$D(aX) = a^2 D(X)$，得：
$D(2X_1) = 2^2 D(X_1) = 4D(X_1).$

步骤2：计算$X_2$的方差
$X_2$的系数为1，因此：
$D(X_2) = 1^2 D(X_2) = D(X_2).$

步骤3：合并两部分方差
由于$X_1$与$X_2$独立，根据独立变量和的方差性质：
$D(2X_1 + X_2) = D(2X_1) + D(X_2) = 4D(X_1) + D(X_2).$

结论：选项A正确。