3.设总体 xi sim N(mu ,1) ,则总体均值μ的置信区间长度L与置信水平 https:/img.zuoyebang.cc/zyb_07f4405e1626e78ebe537c611bab9720.jpg-a 的关系是 () .-|||-(A)L随 https:/img.zuoyebang.cc/zyb_07f4405e1626e78ebe537c611bab9720.jpg-a 减少而缩短 (B)L随 https:/img.zuoyebang.cc/zyb_07f4405e1626e78ebe537c611bab9720.jpg-a 减少而增大-|||-(C)随 https:/img.zuoyebang.cc/zyb_07f4405e1626e78ebe537c611bab9720.jpg-a 减少,L保持不变 (D)以上说法都不对

考查要点：本题主要考查置信区间长度与置信水平之间的关系，涉及正态总体均值的区间估计。

解题核心思路：
置信区间长度由临界值和标准误差共同决定。当总体方差已知时，置信区间公式为 $\bar{x} \pm Z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，其中 $Z_{\alpha/2}$ 是标准正态分布的上 $\alpha/2$ 分位数。置信水平 $1-\alpha$ 越高，对应的 $Z_{\alpha/2}$ 越大，区间长度越长。因此，当 $1-\alpha$ 减少时，$Z_{\alpha/2}$ 减小，区间长度缩短。

破题关键点：

• 明确置信区间长度的公式推导；
• 理解 $Z_{\alpha/2}$ 随 $\alpha$ 变化的规律。

总体 $\xi \sim N(\mu, 1)$，方差 $\sigma^2 = 1$ 已知。构造总体均值 $\mu$ 的置信区间时，使用公式：
$\bar{x} \pm Z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \bar{x} \pm Z_{\alpha/2} \cdot \frac{1}{\sqrt{n}}.$
置信区间长度为：
$L = 2 \cdot Z_{\alpha/2} \cdot \frac{1}{\sqrt{n}}.$

关键分析：

1. $Z_{\alpha/2}$ 的性质：

   • $Z_{\alpha/2}$ 是标准正态分布的上 $\alpha/2$ 分位数，即 $P(Z \geq Z_{\alpha/2}) = \alpha/2$。
   • 当置信水平 $1-\alpha$ 减小时，$\alpha$ 增大，$\alpha/2$ 也增大，对应的 $Z_{\alpha/2}$ 减小。例如：
     • $1-\alpha = 95\%$ 时，$Z_{\alpha/2} \approx 1.96$；
     • $1-\alpha = 90\%$ 时，$Z_{\alpha/2} \approx 1.645$。

2. 区间长度 $L$ 的变化：

   • $L$ 与 $Z_{\alpha/2}$ 正相关。当 $1-\alpha$ 减小时，$Z_{\alpha/2}$ 减小，导致 $L$ 缩短。

结论：
置信区间长度 $L$ 随置信水平 $1-\alpha$ 的减少而缩短，对应选项 (A)。