一箱产品共100件，其中次品个数从0到2是等可能的。开箱检验时，从中随机抽取10件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合要求而拒收。若已知该箱产品已通过验收，求其中确实没有次品的概率。

我们来一步一步地分析并解决这个问题。

题目理解

• 一箱产品共 100件，其中 次品数可能是 0、1、2，这三种情况是等可能的。
• 从中随机抽取10件进行检验，如果发现有次品，就拒收该箱产品。
• 现在已知该箱产品通过了验收（即在抽检的10件中没有发现次品），问：该箱产品中确实没有次品的概率是多少？

第一步：设定事件

我们用贝叶斯定理来求解这个问题。

设：

• $ A_0 $：箱中没有次品（即次品数为0）

• $ A_1 $：箱中有1个次品

• $ A_2 $：箱中有2个次品

• $ B $：抽检10件中没有发现次品（即通过验收）

我们要计算的是：

$P(A_0 \mid B)$

第二步：先验概率

由于次品数从0到2是等可能的，所以：

$P(A_0) = P(A_1) = P(A_2) = \frac{1}{3}$

第三步：似然概率（条件概率）

我们要计算在每种次品数下，抽检10件没有发现次品的概率。

1. 情况 $ A_0 $：没有次品

此时箱中全是正品，所以无论怎么抽都不会抽到次品：

$P(B \mid A_0) = 1$

2. 情况 $ A_1 $：有1个次品

从100件中抽取10件，其中只有1个次品，求抽不到这个次品的概率。

• 总共抽取10件，不抽到那个次品的组合数为：从99件正品中选10件
• 总的抽取方式是从100件中选10件

$P(B \mid A_1) = \frac{\binom{99}{10}}{\binom{100}{10}} = \frac{99! / (10! \cdot 89!)}{100! / (10! \cdot 90!)} = \frac{90}{100} = 0.9$

3. 情况 $ A_2 $：有2个次品

从100件中抽取10件，不抽到这两个次品的概率：

• 从98件正品中选10件
• 总共从100件中选10件

$P(B \mid A_2) = \frac{\binom{98}{10}}{\binom{100}{10}} = \frac{98! / (10! \cdot 88!)}{100! / (10! \cdot 90!)} = \frac{98 \cdot 97}{100 \cdot 99} = \frac{9506}{9900} \approx 0.9602$

第四步：应用贝叶斯定理

我们要求的是：

$P(A_0 \mid B) = \frac{P(B \mid A_0) \cdot P(A_0)}{P(B)}$

先计算分母 $ P(B) $：

$P(B) = P(B \mid A_0)P(A_0) + P(B \mid A_1)P(A_1) + P(B \mid A_2)P(A_2)$

代入数值：

$P(B) = 1 \cdot \frac{1}{3} + 0.9 \cdot \frac{1}{3} + 0.9602 \cdot \frac{1}{3} = \frac{1 + 0.9 + 0.9602}{3} = \frac{2.8602}{3} \approx 0.9534$

再代入贝叶斯公式：

$P(A_0 \mid B) = \frac{1 \cdot \frac{1}{3}}{0.9534} = \frac{0.3333}{0.9534} \approx 0.35$

最终答案

$\boxed{0.35}$

总结

在已知该箱产品通过验收的前提下，其中确实没有次品的概率约为 35%。