题目
2 (1)一保险公司有10000个汽车投保人，每个投保人索赔金额的数学期望为280元，标准差为800美元，求索赔总金额超过2700000美元的概率.
2 (1)一保险公司有10000个汽车投保人，每个投保人索赔金额的数学期望为280元，标准差为800美元，求索赔总金额超过2700000美元的概率.
题目解答
答案
为了求出索赔总金额超过2700000美元的概率，我们可以使用中心极限定理。中心极限定理指出，对于一个足够大的样本，样本总和的分布可以近似为正态分布。
首先，我们定义随机变量 $ X_i $ 为第 $ i $ 个投保人的索赔金额。已知 $ E(X_i) = 280 $ 美元， $ \sigma(X_i) = 800 $ 美元。保险公司有10000个投保人，因此索赔总金额 $ S $ 可以表示为：
\[ S = X_1 + X_2 + \cdots + X_{10000} \]
根据期望和方差的性质，我们可以计算 $ S $ 的期望和方差：
\[ E(S) = E(X_1 + X_2 + \cdots + X_{10000}) = 10000 \cdot E(X_i) = 10000 \cdot 280 = 2800000 \text{ 美元} \]
\[ \sigma^2(S) = \sigma^2(X_1 + X_2 + \cdots + X_{10000}) = 10000 \cdot \sigma^2(X_i) = 10000 \cdot 800^2 = 6400000000 \]
\[ \sigma(S) = \sqrt{6400000000} = 80000 \text{ 美元} \]
根据中心极限定理， $ S $ 的分布可以近似为正态分布 $ N(2800000, 80000^2) $。我们要求 $ S $ 超过2700000美元的概率，即 $ P(S > 2700000) $。为了使用标准正态分布表，我们需要将 $ S $ 标准化：
\[ P(S > 2700000) = P\left( \frac{S - E(S)}{\sigma(S)} > \frac{2700000 - 2800000}{80000} \right) = P\left( Z > -1.25 \right) \]
其中 $ Z $ 是标准正态随机变量。根据标准正态分布的对称性， $ P(Z > -1.25) = P(Z < 1.25) $。查标准正态分布表，我们得到：
\[ P(Z < 1.25) \approx 0.8944 \]
因此，索赔总金额超过2700000美元的概率为：
\[ \boxed{0.8944} \]