题目
16.设总体Xsim N(0,1)，X_(1),X_(2),X_(3),X_(4)是来自总体X的简单随机样本，又设Y=(X_(1)+X_(2))^2+(X_(3)+X_(4))^2，则当常数c=____时，cY服从自由度为____的χ²分布。
16.设总体$X\sim N(0,1)$，$X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}$是来自总体X的简单随机样本，又设$Y=(X_{1}+X_{2})^{2}+(X_{3}+X_{4})^{2}$，则当常数c=____时，cY服从自由度为____的χ²分布。
题目解答
答案
设 $Z_1 = X_1 + X_2$，$Z_2 = X_3 + X_4$，则 $Z_1, Z_2 \sim N(0,2)$。
令 $U_i = \frac{Z_i^2}{2}$，则 $U_i \sim \chi^2(1)$（$i=1,2$）。
由于 $Z_1$ 与 $Z_2$ 独立，$U_1 + U_2 \sim \chi^2(2)$。
而 $U_1 + U_2 = \frac{(X_1 + X_2)^2 + (X_3 + X_4)^2}{2} = \frac{Y}{2}$，
故 $\frac{Y}{2} \sim \chi^2(2)$。
答案：
\[
\boxed{\frac{1}{2}, 2}
\]
解析
本题主要考察正态分布的性质、$\chi^2$分布的定义及应用，具体思路如下：
步骤1：分析样本的线性组合分布
总体$X\sim N(0,1)$，$X_1,X_2,X_3,X_4$是简单随机样本，故它们相互独立且均服从$N(0,1)$。
考虑$Z_1=X_1+X_2$，由于独立正态变量的线性组合仍为正态分布，且：
- 期望：$E(Z_1)=E(X_1)+E(X_2)=0+0=0$
- 方差：$D(Z_1)=D(X_1)+D(X_2)=1+1=2$
同理，$Z_2=X_3+X_4\sim N(0,2)$，且$Z_1$与$Z_2$独立。
步骤2：转化为标准正态变量的平方
对$Z_1,Z_2$标准化：令$U_1=\frac{Z_1}{\sqrt{2}}=\frac{X_1+X_2}{\sqrt{2}}$，$U_2=\frac{Z_2}{\sqrt{2}}=\frac{X_3+X_4}{\sqrt{2}}$，则$U_1,U_2\sim N(0,1)$，且独立。
根据$\chi^2$分布的定义：标准正态变量的平方服从自由度为1的$\chi^2$分布，故$U_1^2\sim\chi^2(1)$，$U_2^2\sim\chi^2(1)$。
步骤3：合并为$\chi^2$分布
由于$U_1^2$与$U_2^2$独立，根据$\chi^2$分布的可加性：$U_1^2+U_2^2\sim\chi^2(1+1)=\chi^2(2)$。
代入$U_1^2,U_2^2$：
$U_1^2+U_2^2=\frac{(X_1+X_2)^2}{2}+\frac{(X_3+X_4)^2}{2}=\frac{Y}{2}$
故$\frac{Y}{2}\sim\chi^2(2)$，即$c=\frac{1}{2}$，自由度为2。