1.判断下列集合对指定的运算是否构成R上线性空间.(1)V_(1)=A=(a_{ij))_(ntimes n)|sum_(i=1)^na_(ii)=0}；对矩阵加法和数乘运算.(2)V_(2)=A|Ain R,A^T=-A；对矩阵加法和数乘运算.(3)V_(3)=R^3；对R^3中向量加法和如下定义的数乘向量：forallalphain R^3,kin R,kalpha=0.(4)V_(4)=f(x)|f(x)geqslant 0，通常的函数加法与数乘函数运算.

线性空间的判定核心：需验证集合对加法和数乘运算的封闭性，并满足线性空间的八条公理（如加法交换律、结合律，存在零元素，数乘分配律等）。

• (1) $V_1$：关键验证加法和数乘封闭性，即两个矩阵对角和为0时，其和与数乘后的矩阵对角和仍为0。
• (2) $V_2$：验证反对称矩阵在加法和数乘下的封闭性，即运算后仍保持$A^T = -A$。
• (3) $V_3$：数乘定义被修改为$k\alpha = 0$，需检查是否破坏数乘单位元公理（$1\alpha = \alpha$）。
• (4) $V_4$：验证数乘封闭性，当标量为负数时，非负函数可能变为非正函数。

(1) $V_1 = \{ A = (a_{ij})_{n \times n} \mid \sum_{i=1}^n a_{ii} = 0 \}$

封闭性验证

• 加法封闭：设$A, B \in V_1$，则$\sum a_{ii} = 0$且$\sum b_{ii} = 0$。
  $(A+B)$的对角线元素为$a_{ii} + b_{ii}$，其和为$\sum (a_{ii} + b_{ii}) = \sum a_{ii} + \sum b_{ii} = 0 + 0 = 0$，故$A+B \in V_1$。
• 数乘封闭：设$k \in \mathbb{R}$，则$kA$的对角线元素为$k a_{ii}$，其和为$k \sum a_{ii} = k \cdot 0 = 0$，故$kA \in V_1$。

公理验证

矩阵加法和数乘天然满足线性空间公理，故$V_1$构成线性空间。

(2) $V_2 = \{ A \in \mathbb{R}^{n \times n} \mid A^T = -A \}$

封闭性验证

• 加法封闭：设$A, B \in V_2$，则$(A+B)^T = A^T + B^T = -A - B = -(A+B)$，故$A+B \in V_2$。
• 数乘封闭：设$k \in \mathbb{R}$，则$(kA)^T = kA^T = k(-A) = -kA$，故$kA \in V_2$。

公理验证

反对称矩阵加法和数乘满足线性空间公理，故$V_2$构成线性空间。

(3) $V_3 = \mathbb{R}^3$，数乘定义为$k\alpha = 0$

公理验证

• 数乘单位元失效：对任意非零向量$\alpha \in \mathbb{R}^3$，有$1 \cdot \alpha = 0 \neq \alpha$，违反数乘单位元公理。
  故$V_3$不构成线性空间。

(4) $V_4 = \{ f(x) \mid f(x) \geq 0 \}$

封闭性验证

• 数乘封闭性破坏：若$k < 0$，则$k f(x) \leq 0$，但$k f(x) \notin V_4$（除非$f(x) = 0$）。
  故$V_4$不构成线性空间。