题目
31. (10.0分) 某市随机抽查12岁男孩100人，得身高均数为139.6cm，标准差为6.85cm，试 1)估计此次抽样中产生的标准误;2)估计该地12岁男孩的平均身高的95%置信区间。 (Z_(0.025)=1.96,t_(0.025)=1.98)
31. (10.0分) 某市随机抽查12岁男孩100人，得身高均数为139.6cm，标准差为6.85cm，试 1)估计此次抽样中产生的标准误;2)估计该地12岁男孩的平均身高的95%置信区间。 $(Z_{0.025}=1.96,t_{0.025}=1.98)$
题目解答
答案
为了解决这个问题，我们将按照以下步骤进行：
1. 计算此次抽样中产生的标准误。
2. 估计该地12岁男孩的平均身高的95%置信区间。
### 第1步：计算此次抽样中产生的标准误
标准误（SEM）是样本均数的估计值与总体均数的真值之间的平均差异。它计算为：
\[ \text{SEM} = \frac{s}{\sqrt{n}} \]
其中 $ s $ 是样本标准差，$ n $ 是样本大小。这里，$ s = 6.85 $ cm，$ n = 100 $。
将值代入公式，我们得到：
\[ \text{SEM} = \frac{6.85}{\sqrt{100}} = \frac{6.85}{10} = 0.685 \]
因此，此次抽样中产生的标准误为 $ 0.685 $ cm。
### 第2步：估计该地12岁男孩的平均身高的95%置信区间
总体均数的95%置信区间（CI）计算为：
\[ \text{CI} = \bar{x} \pm z_{0.025} \times \text{SEM} \]
其中 $ \bar{x} $ 是样本均数，$ z_{0.025} $ 是与95%置信水平相对应的z分数。这里，$ \bar{x} = 139.6 $ cm，$ z_{0.025} = 1.96 $，SEM = 0.685 cm。
将值代入公式，我们得到：
\[ \text{CI} = 139.6 \pm 1.96 \times 0.685 \]
首先，计算 $ 1.96 \times 0.685 $：
\[ 1.96 \times 0.685 = 1.3436 \]
因此，95%置信区间为：
\[ \text{CI} = 139.6 \pm 1.3436 \]
这给我们两个值：
\[ \text{下限} = 139.6 - 1.3436 = 138.2564 \]
\[ \text{上限} = 139.6 + 1.3436 = 140.9436 \]
将这些值四舍五入到小数点后两位，95%置信区间为：
\[ (138.26, 140.94) \]
因此，该地12岁男孩的平均身高的95%置信区间为 $\boxed{(138.26, 140.94)}$。
解析
步骤 1：计算此次抽样中产生的标准误
标准误（SEM）是样本均数的估计值与总体均数的真值之间的平均差异。它计算为：
\[ \text{SEM} = \frac{s}{\sqrt{n}} \]
其中 $ s $ 是样本标准差，$ n $ 是样本大小。这里，$ s = 6.85 $ cm，$ n = 100 $。
将值代入公式，我们得到：
\[ \text{SEM} = \frac{6.85}{\sqrt{100}} = \frac{6.85}{10} = 0.685 \]
因此，此次抽样中产生的标准误为 $ 0.685 $ cm。
步骤 2：估计该地12岁男孩的平均身高的95%置信区间
总体均数的95%置信区间（CI）计算为：
\[ \text{CI} = \bar{x} \pm z_{0.025} \times \text{SEM} \]
其中 $ \bar{x} $ 是样本均数，$ z_{0.025} $ 是与95%置信水平相对应的z分数。这里，$ \bar{x} = 139.6 $ cm，$ z_{0.025} = 1.96 $，SEM = 0.685 cm。
将值代入公式，我们得到：
\[ \text{CI} = 139.6 \pm 1.96 \times 0.685 \]
首先，计算 $ 1.96 \times 0.685 $：
\[ 1.96 \times 0.685 = 1.3436 \]
因此，95%置信区间为：
\[ \text{CI} = 139.6 \pm 1.3436 \]
这给我们两个值：
\[ \text{下限} = 139.6 - 1.3436 = 138.2564 \]
\[ \text{上限} = 139.6 + 1.3436 = 140.9436 \]
将这些值四舍五入到小数点后两位，95%置信区间为：
\[ (138.26, 140.94) \]
标准误（SEM）是样本均数的估计值与总体均数的真值之间的平均差异。它计算为：
\[ \text{SEM} = \frac{s}{\sqrt{n}} \]
其中 $ s $ 是样本标准差，$ n $ 是样本大小。这里，$ s = 6.85 $ cm，$ n = 100 $。
将值代入公式，我们得到：
\[ \text{SEM} = \frac{6.85}{\sqrt{100}} = \frac{6.85}{10} = 0.685 \]
因此，此次抽样中产生的标准误为 $ 0.685 $ cm。
步骤 2：估计该地12岁男孩的平均身高的95%置信区间
总体均数的95%置信区间（CI）计算为：
\[ \text{CI} = \bar{x} \pm z_{0.025} \times \text{SEM} \]
其中 $ \bar{x} $ 是样本均数，$ z_{0.025} $ 是与95%置信水平相对应的z分数。这里，$ \bar{x} = 139.6 $ cm，$ z_{0.025} = 1.96 $，SEM = 0.685 cm。
将值代入公式，我们得到：
\[ \text{CI} = 139.6 \pm 1.96 \times 0.685 \]
首先，计算 $ 1.96 \times 0.685 $：
\[ 1.96 \times 0.685 = 1.3436 \]
因此，95%置信区间为：
\[ \text{CI} = 139.6 \pm 1.3436 \]
这给我们两个值：
\[ \text{下限} = 139.6 - 1.3436 = 138.2564 \]
\[ \text{上限} = 139.6 + 1.3436 = 140.9436 \]
将这些值四舍五入到小数点后两位，95%置信区间为：
\[ (138.26, 140.94) \]