题目
[判断题](x)=dfrac (1)(2pi )(arctan x+dfrac (pi )(2))是分布函数( )
[判断题]
是分布函数( )
题目解答
答案
解析
步骤 1：检查分布函数的性质
分布函数F(x)具有以下性质:
1. $0\leqslant F(x)\leqslant 1$
2. $F(-\infty)=0$
3. $F(+\infty)=1$
步骤 2：验证给定函数是否满足分布函数的性质
对于 $F(x)=\dfrac {1}{2\pi }(\arctan x+\dfrac {\pi }{2})$ :
1. 当$x\rightarrow -\infty$时, $\lim _{x\rightarrow -\infty }\dfrac {1}{2\pi }(\arctan x+\dfrac {\pi }{2})=\dfrac {1}{2\pi }(-\dfrac {\pi }{2}+\dfrac {\pi }{2})=0$
2. 当$x\rightarrow +\infty$时, $\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {1}{2\pi }(\arctan x+\dfrac {\pi }{2})=\dfrac {1}{2\pi }(\dfrac {\pi }{2}+\dfrac {\pi }{2})=\dfrac {1}{2}\neq 1$
步骤 3：得出结论
由于不满足 $F(+\infty )=\lim _{x\rightarrow +\infty }F(x)=1$ 这个性质, 所以 $F(x)=\dfrac {1}{2\pi }(\arctan x+\dfrac {\pi }{2})$ 不是分布函数
分布函数F(x)具有以下性质:
1. $0\leqslant F(x)\leqslant 1$
2. $F(-\infty)=0$
3. $F(+\infty)=1$
步骤 2：验证给定函数是否满足分布函数的性质
对于 $F(x)=\dfrac {1}{2\pi }(\arctan x+\dfrac {\pi }{2})$ :
1. 当$x\rightarrow -\infty$时, $\lim _{x\rightarrow -\infty }\dfrac {1}{2\pi }(\arctan x+\dfrac {\pi }{2})=\dfrac {1}{2\pi }(-\dfrac {\pi }{2}+\dfrac {\pi }{2})=0$
2. 当$x\rightarrow +\infty$时, $\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {1}{2\pi }(\arctan x+\dfrac {\pi }{2})=\dfrac {1}{2\pi }(\dfrac {\pi }{2}+\dfrac {\pi }{2})=\dfrac {1}{2}\neq 1$
步骤 3：得出结论
由于不满足 $F(+\infty )=\lim _{x\rightarrow +\infty }F(x)=1$ 这个性质, 所以 $F(x)=\dfrac {1}{2\pi }(\arctan x+\dfrac {\pi }{2})$ 不是分布函数