已知随机变量sim N(mu ,(3)^2),观察到9个样本值为6,6,8,7,9,8,10,11,7;已知已知sim N(mu ,(3)^2),试求sim N(mu ,(3)^2)的置信水平为0.95的置信区间？

考查要点：本题主要考查正态分布总体均值的置信区间估计，要求掌握总体方差已知时的处理方法。

解题核心思路：

1. 计算样本均值：这是置信区间的中心点。
2. 确定置信区间公式：由于总体方差$\sigma^2$已知，使用Z分布构造置信区间，公式为：
   $\overline{X} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
3. 代入已知参数：包括样本均值、分位数$z_{0.025}=1.96$、总体标准差$\sigma=3$和样本量$n=9$。

破题关键点：

• 区分Z区间与t区间：本题中总体方差已知，因此必须使用Z分布。
• 正确计算标准误：$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$是区间宽度的关键决定因素。

1. 计算样本均值

样本值为$6,6,8,7,9,8,10,11,7$，样本量$n=9$。
样本均值计算公式为：
$\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$
代入数据：
$\overline{X} = \frac{6+6+8+7+9+8+10+11+7}{9} = \frac{72}{9} = 8$

2. 计算置信区间

已知$\sigma=3$，$z_{0.025}=1.96$，$n=9$。
置信区间公式为：
$\overline{X} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
分步计算：

1. 标准误：
   $\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{3}{\sqrt{9}} = \frac{3}{3} = 1$
2. 边际误差：
   $z_{0.025} \cdot \text{标准误} = 1.96 \times 1 = 1.96$
3. 置信区间：
   • 下限：$\overline{X} - \text{边际误差} = 8 - 1.96 = 6.04$
   • 上限：$\overline{X} + \text{边际误差} = 8 + 1.96 = 9.96$