题目
1、设某车间生产的螺杆直径服从正态分布N(mu,sigma^2)，今随机地从中抽取5只，测得直径分别为22.3，21.5，22.0，21.8，21.4（单位：mm），求直径均值μ的置信度是0.95的置信区间。其中总体标准差0.3。若σ未知，则置信区间又如何？
1、设某车间生产的螺杆直径服从正态分布$N(\mu,\sigma^{2})$，今随机地从中抽取5只，测得直径分别为22.3，21.5，22.0，21.8，21.4（单位：mm），求直径均值μ的置信度是0.95的置信区间。其中总体标准差0.3。若σ未知，则置信区间又如何？
题目解答
答案
**已知条件：**
样本数据：22.3, 21.5, 22.0, 21.8, 21.4
样本均值：$\overline{x} = 21.8$
置信度：95%（$\alpha = 0.05$）
**情况1：$\sigma$ 已知（$\sigma = 0.3$）**
使用正态分布：
\[
Z_{0.025} = 1.96, \quad \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{0.3}{\sqrt{5}} \approx 0.134
\]
置信区间：
\[
\overline{x} \pm Z_{0.025} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \approx (21.537, 22.063)
\]
**情况2：$\sigma$ 未知**
计算样本标准差：
\[
S \approx 0.367, \quad \frac{S}{\sqrt{n}} \approx 0.164
\]
使用 t 分布（自由度 $n-1=4$）：
\[
t_{0.025}(4) = 2.776
\]
置信区间：
\[
\overline{x} \pm t_{0.025}(4) \cdot \frac{S}{\sqrt{n}} \approx (21.345, 22.255)
\]
**答案：**
$\sigma$ 已知：$\boxed{(21.537, 22.063)}$
$\sigma$ 未知：$\boxed{(21.345, 22.255)}$
解析
考查要点：本题主要考查正态分布下总体均值的置信区间估计，涉及两种情况：总体标准差σ已知和未知。
解题核心思路：
- σ已知时，使用正态分布（Z分布）计算置信区间；
- σ未知时，使用t分布计算置信区间，需先计算样本标准差。
关键点：
- 区分σ已知与未知时的分布选择；
- 样本均值的计算；
- 标准误差的计算（σ/√n或s/√n）；
- 查找对应的临界值（Z值或t值）。
步骤1：计算样本均值
样本数据：22.3, 21.5, 22.0, 21.8, 21.4
样本均值：
$\overline{x} = \frac{22.3 + 21.5 + 22.0 + 21.8 + 21.4}{5} = 21.8 \, \text{mm}$
步骤2：σ已知时的置信区间
- 确定临界值：置信度95%对应$\alpha = 0.05$，查标准正态分布表得$Z_{0.025} = 1.96$。
- 计算标准误差：
$\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{0.3}{\sqrt{5}} \approx 0.134$ - 计算置信区间：
$\overline{x} \pm Z_{0.025} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \approx 21.8 \pm 1.96 \times 0.134 \approx (21.537, 22.063)$
步骤3：σ未知时的置信区间
- 计算样本标准差：
$s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \overline{x})^2}{n-1}} = \sqrt{\frac{0.54}{4}} \approx 0.367$ - 确定临界值：自由度$n-1=4$，查t分布表得$t_{0.025}(4) = 2.776$。
- 计算标准误差：
$\frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{0.367}{\sqrt{5}} \approx 0.164$ - 计算置信区间：
$\overline{x} \pm t_{0.025}(4) \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \approx 21.8 \pm 2.776 \times 0.164 \approx (21.345, 22.255)$