33.设随机变量 sim N(mu ,(sigma )^2) sim N(mu ,(sigma )^2) ,且设X,Y相互独立,试求-|||-_(1)=alpha X+beta Y 和 _(2)=alpha X-beta Y 的相关系数(其中α,β是不为零的常数).

本题考查正态分布随机变量的线性组合的协方差、方差以及相关系数的计算。解题思路是先根据协方差的性质求出$Z_1$和$Z_2$的协方差$Cov(Z_1,Z_2)$，再分别求出$Z_1$和$Z_2$的方差$D(Z_1)$和$D(Z_2)$，最后根据相关系数的定义$\rho_{Z_1Z_2}=\frac{Cov(Z_1,Z_2)}{\sqrt{D(Z_1)D(Z_2)}}$计算出$Z_1$和$Z_2$的相关系数。

1. 计算$Cov(Z_1,Z_2)$

已知$Z_1 = \alpha X + \beta Y$，$Z_2 = \alpha X - \beta Y$，根据协方差的性质$Cov(A + B, C + D) = Cov(A, C) + Cov(A, D) + Cov(B, C) + Cov(B, D)$可得：
$\begin{align*}Cov(Z_1,Z_2)&=Cov(\alpha X + \beta Y, \alpha X - \beta Y)\\&=Cov(\alpha X, \alpha X) - Cov(\alpha X, \beta Y) + Cov(\beta Y, \alpha X) - Cov(\beta Y, \beta Y)\\&=\alpha^2Cov(X, X) - \alpha\beta Cov(X, Y) + \alpha\beta Cov(Y, X) - \beta^2Cov(Y, Y)\end{align*}$
因为$Cov(X, X)=D(X)$，$Cov(Y, Y)=D(Y)$，且$X$，$Y$相互独立，所以$Cov(X, Y)=0$，则：
$\begin{align*}Cov(Z_1,Z_2)&=\alpha^2D(X) - \beta^2D(Y)\\&=(\alpha^2 - \beta^2)\sigma^2\end{align*}$

2. 计算$D(Z_1)$

根据方差的性质$D(A + B) = D(A) + D(B) + 2Cov(A, B)$可得：
$\begin{align*}D(Z_1)&=D(\alpha X + \beta Y)\\&=\alpha^2D(X) + \beta^2D(Y) + 2\alpha\beta Cov(X, Y)\end{align*}$
因为$Cov(X, Y)=0$，$D(X)=D(Y)=\sigma^2$，所以：
$\begin{align*}D(Z_1)&=\alpha^2\sigma^2 + \beta^2\sigma^2\\&=(\alpha^2 + \beta^2)\sigma^2\end{align*}$

3. 计算$D(Z_2)$

根据方差的性质$D(A - B) = D(A) + D(B) - 2Cov(A, B)$可得：
$\begin{align*}D(Z_2)&=D(\alpha X - \beta Y)\\&=\alpha^2D(X) + \beta^2D(Y) - 2\alpha\beta Cov(X, Y)\end{align*}$
因为$Cov(X, Y)=0$，$D(X)=D(Y)=\sigma^2$，所以：
$\begin{align*}D(Z_2)&=\alpha^2\sigma^2 + \beta^2\sigma^2\\&=(\alpha^2 + \beta^2)\sigma^2\end{align*}$

4. 计算$\rho_{Z_1Z_2}$

根据相关系数的定义$\rho_{Z_1Z_2}=\frac{Cov(Z_1,Z_2)}{\sqrt{D(Z_1)D(Z_2)}}$可得：
$\begin{align*}\rho_{Z_1Z_2}&=\frac{(\alpha^2 - \beta^2)\sigma^2}{\sqrt{(\alpha^2 + \beta^2)\sigma^2\cdot(\alpha^2 + \beta^2)\sigma^2}}\\&=\frac{(\alpha^2 - \beta^2)\sigma^2}{(\alpha^2 + \beta^2)\sigma^2}\\&=\frac{\alpha^2 - \beta^2}{\alpha^2 + \beta^2}\end{align*}$