2、[必做题]设随机向量(X,Y )满足-|||-_(1)=x+y ,_(2)=x-y, 其中-|||-((X)_(1),(X)_(2))approx N(4,2:3,1:0). 求协方差cov(X,Y)-|||-和相关系数px,Y.
题目解答
答案
解析
本题主要考察二维正态分布的性质、期望、方差及协方差、相关系数的计算。
步骤1：明确已知条件
题目中随机向量$(X_1,X_2)\sim N(4,2;3,1;0)$，表示：
- $X_1$的期望$E(X_1)=4\\)，方差\(D(X_11)=2$
- $X_2$的期望$E(X__2)=3$，方差$D(X_2)=1$
- $X_1$与$X_2$的相关系数$\rho_{X_1X2}=0$（协方差$\text{Cov}(X_1,X_2)=0$）
步骤2：建立$X,Y$与$X_1,X_2$的关系
已知$X_1=X+Y$（应为$X_1=X+Y$），$X_2=X-Y$，联立解得：
$\begin{cases}X_1=X+Y \\X__2=X-Y\end{cases}$
解此方程组得：
$X=\frac{X_1+X_2}{2}, \quad Y=\frac{X_1-X_2}{2}$
步骤3：计算$E(X),E(Y),D(X),D(Y)$
期望计算：
根据期望的线性性质$E(aU+bV)=aE(U)+bE(V)$：
$$E(X)=E\left(\frac{X_1+X_2}{2}\right)=\frac{1}{2}[E(X_1)+E(X_2)]=\frac{1}{2}(4+3)=\frac{7}{2}=3.5$
$E(Y)=E\left(\frac{X_1-X_2}{2}\right��\right)=\frac{1}{2}[E(X_1)-E(X_2)]=\frac{1}{2}(4-3)=\frac{1}{2}=0.5$
### 方差计算：
根据方差性质$D(aU+bV)=a^2D(U)+b^2D(V)+2ab\text{Cov}(U,V)$，且$\text{Cov}(X_1,X_2)=0$：
$D(X)=D\left(\frac{X_1+X_2}{2})=\frac{1}{4}[D(X_1)+D(X_2)+2\text{Cov}(X_1,X_2)]=\frac{1}{4}(2+1+0)=\frac{3}{4}=0.75$
$D(Y)=D(\frac{X_1-X_2}{2})=\frac{1}{4}[D(X_1)+D(X_2)-2\text{Cov}(X_1,X_2)]=\frac{1}{4}(2+1-0)=\frac{3}{4}=0.5$
## **步骤4：计算协方差$\text{Cov}(X,Y)$**
根据协方差性质$\text{Cov}(aU+bV,cS+dT)=ac\text{Cov}(U,S)+ad\text{Cov}(U,T)+bc\text{Cov}(V,S)+bd\text{Cov}(V,T)$：
\[
\text{Cov}(X,Y)=\text{Cov}\left(\frac{X_1+X_2}{2},\frac{X_1-X_2}{2}\right)$
展开得：
$=\frac{1}{4}\text{Cov}(X_1,X_1)+\frac{1}{4}\frac{1}{4}\text{Cov}(X_1,-X_2)+\frac{1}{4}\text{Cov}(X_2,X_1)+\frac{1}{4}\text{Cov}(X_2,-X_2)$
由于$\text{Cov}(A,A)=D(A)$，且$\text{Cov}(X_1,X_2)=0$：
$=\frac{1}{4}D(X_1)+\frac{1}{4}(0)+\frac{1}{4}(0)+\frac{frac{1}{4}(-D(X_2))=\frac{1}{4}(2)-\frac{1}{4}(1)=\frac{frac{2-1}{4}=\frac{1}{4}=0.25\)
## **步骤5：计算相关系数$\rho_{X,Y})$**
相关系数公式：$\rho_{X,Y}=\frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}$
代入数据：
\[
\rho_{X,Y}=\frac{\frac{1}{4}}{\sqrt{\frac{3}{4}}\sqrt{\frac{3}{4}}}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{4}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\approx0.577$