题目

10.判断题若A_(1),A_(2),...,A_(k)均为可逆矩阵，则乘积A_(1)A_(2)... A_(k)也是可逆矩阵，且(A_(1)A_(2)... A_(k))^-1=A_(k)^-1... A_(2)^-1A_(1)^-1A 对B 错A. 对B. 错

10.判断题 若$A_{1},A_{2},\cdots,A_{k}$均为可逆矩阵，则乘积$A_{1}A_{2}\cdots A_{k}$也是可逆矩阵，且 $(A_{1}A_{2}\cdots A_{k})^{-1}=A_{k}^{-1}\cdots A_{2}^{-1}A_{1}^{-1}$ A 对 B 错

A. 对

B. 错

题目解答

答案

A. 对

解析

本题考查可逆矩阵的性质以及逆矩阵的定义。解题思路是根据逆矩阵的定义，若矩阵$P$可逆，那么存在矩阵$Q$使得$PQ = QP = I$（$I$为单位矩阵），我们需要验证对于乘积矩阵$A_{1}A_{2}\cdots A_{k}$，矩阵$A_{k}^{-1}\cdots A_{2}^{-1}A_{1}^{-1}$是否满足逆矩阵的定义。

  1. 设$P = A_{1}A_{2}\cdots A_{k}$，$Q = A_{k}^{-1}\cdots A_{2}^{-1}A_{1}^{-1}$。
  2. 计算$PQ$：
    • 根据矩阵乘法的结合律，$PQ=(A_{1}A_{2}\cdots A_{k})(A_{k}^{-1}\cdots A_{2}^{-1}A_{1}^{-1})$。
    • 先计算$(A_{2}\cdots A_{k}A_{k}^{-1}\cdots A_{2}^{-1})$，因为$A_{i}$与$A_{i}^{-1}$（$i = 2,\cdots,k$）互为逆矩阵，所以$A_{2}\cdots A_{k}A_{k}^{-1}\cdots A_{2}^{-1}=I$。
    • 则$PQ = A_{1}(A_{2}\cdots A_{k}A_{k}^{-1}\cdots A_{2}^{-1})A_{1}^{-1}=A_{1}IA_{1}^{-1}$。
    • 又因为$A_{1}I = A_{1}$，所以$A_{1}IA_{1}^{-1}=A_{1}A_{1}^{-1}=I$。
  3. 同理可计算$QP$：
    • $QP=(A_{k}^{-1}\cdots A_{2}^{-1}A_{1}^{-1})(A_{1}A_{2}\cdots A_{k})$。
    • 先计算$(A_{k}^{-1}\cdots A_{2}^{-1}A_{1}^{-1}A_{1})$，因为$A_{1}$与$A_{1}^{-1}$互为逆矩阵，所以$A_{k}^{-1}\cdots A_{2}^{-1}A_{1}^{-1}A_{1}=A_{k}^{-1}\cdots A_{2}^{-1}I = A_{k}^{-1}\cdots A_{2}^{-1}$。
    • 继续计算可得$QP=(A_{k}^{-1}\cdots A_{2}^{-1})(A_{2}\cdots A_{k}) = I$。
  4. 由逆矩阵的定义可知，因为$PQ = QP = I$，所以$P$可逆，且$P^{-1}=Q$，即$(A_{1}A_{2}\cdots A_{k})^{-1}=A_{k}^{-1}\cdots A_{2}^{-1}A_{1}^{-1}$。