题目
1.有一批枪弹,出厂时,其初速 sim N(950,100) (单位: m/s ).经过较长时间-|||-储存,取9发进行测试,得样本值(单位: m/s )如下:-|||-914 920 910 934953 945 912 924940.-|||-据经验,枪弹经储存后其初速仍服从正态分布,且标准差保持不变,问是否可认-|||-为这批枪弹的初速有显著降低( alpha =0.05) ?
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定假设检验的原假设和备择假设
原假设 $H_0$：这批枪弹的初速没有显著降低，即 $\mu = 950$ m/s。
备择假设 $H_1$：这批枪弹的初速有显著降低，即 $\mu < 950$ m/s。
步骤 2：计算样本均值
样本值为：914, 920, 910, 934, 953, 945, 912, 924, 940。
样本均值 $\overline{x} = \frac{1}{9} \sum_{i=1}^{9} x_i = \frac{1}{9} (914 + 920 + 910 + 934 + 953 + 945 + 912 + 924 + 940) = \frac{1}{9} \times 8402 = 933.56$ m/s。
步骤 3：计算检验统计量
已知总体标准差 $\sigma = 10$ m/s，样本容量 $n = 9$。
检验统计量 $u = \frac{\overline{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{933.56 - 950}{10 / \sqrt{9}} = \frac{-16.44}{10 / 3} = \frac{-16.44}{3.33} = -4.93$。
步骤 4：确定拒绝域
显著性水平 $\alpha = 0.05$，查标准正态分布表得临界值 $u_{0.05} = -1.645$。
拒绝域为 $u \leqslant -1.645$。
步骤 5：判断是否拒绝原假设
计算得到的检验统计量 $u = -4.93$ 落入拒绝域内，因此拒绝原假设 $H_0$，认为这批枪弹的初速有显著降低。
原假设 $H_0$：这批枪弹的初速没有显著降低，即 $\mu = 950$ m/s。
备择假设 $H_1$：这批枪弹的初速有显著降低，即 $\mu < 950$ m/s。
步骤 2：计算样本均值
样本值为：914, 920, 910, 934, 953, 945, 912, 924, 940。
样本均值 $\overline{x} = \frac{1}{9} \sum_{i=1}^{9} x_i = \frac{1}{9} (914 + 920 + 910 + 934 + 953 + 945 + 912 + 924 + 940) = \frac{1}{9} \times 8402 = 933.56$ m/s。
步骤 3：计算检验统计量
已知总体标准差 $\sigma = 10$ m/s，样本容量 $n = 9$。
检验统计量 $u = \frac{\overline{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{933.56 - 950}{10 / \sqrt{9}} = \frac{-16.44}{10 / 3} = \frac{-16.44}{3.33} = -4.93$。
步骤 4：确定拒绝域
显著性水平 $\alpha = 0.05$，查标准正态分布表得临界值 $u_{0.05} = -1.645$。
拒绝域为 $u \leqslant -1.645$。
步骤 5：判断是否拒绝原假设
计算得到的检验统计量 $u = -4.93$ 落入拒绝域内，因此拒绝原假设 $H_0$，认为这批枪弹的初速有显著降低。