题目
4.设随机变量 sim N(mu ,(sigma )^2), F(x)为分布函数, =F(X), 则概率 Ylt 0.5 () .-|||-A.与μ,σ^2都有关 B.与μ有关,与σ^2无关 C.与σ^2有关,与μ无关 D.与μ,σ^2都无关
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解分布函数
分布函数 $F(x)$ 是随机变量 $X$ 的累积分布函数，表示随机变量 $X$ 小于等于 $x$ 的概率，即 $F(x) = P(X \leq x)$。对于正态分布 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，$F(x)$ 是一个严格单调递增的函数。
步骤 2：确定 $F(\mu)$ 的值
由于 $X$ 服从正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$，其均值为 $\mu$，因此 $F(\mu) = P(X \leq \mu) = 0.5$。这是因为正态分布是关于均值 $\mu$ 对称的，所以 $X$ 小于等于 $\mu$ 的概率为 $0.5$。
步骤 3：计算 $P\{Y < 0.5\}$
由于 $Y = F(X)$，$P\{Y < 0.5\} = P\{F(X) < 0.5\} = P\{X < \mu\} = 0.5$。这是因为 $F(x)$ 是严格单调递增的，所以 $F(X) < 0.5$ 等价于 $X < \mu$。
步骤 4：分析与 $\mu$ 和 $\sigma^2$ 的关系
由于 $P\{Y < 0.5\} = 0.5$，这个概率值与 $\mu$ 和 $\sigma^2$ 都无关，因为正态分布的对称性保证了 $P\{X < \mu\} = 0.5$，无论 $\mu$ 和 $\sigma^2$ 的值如何。
分布函数 $F(x)$ 是随机变量 $X$ 的累积分布函数，表示随机变量 $X$ 小于等于 $x$ 的概率，即 $F(x) = P(X \leq x)$。对于正态分布 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，$F(x)$ 是一个严格单调递增的函数。
步骤 2：确定 $F(\mu)$ 的值
由于 $X$ 服从正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$，其均值为 $\mu$，因此 $F(\mu) = P(X \leq \mu) = 0.5$。这是因为正态分布是关于均值 $\mu$ 对称的，所以 $X$ 小于等于 $\mu$ 的概率为 $0.5$。
步骤 3：计算 $P\{Y < 0.5\}$
由于 $Y = F(X)$，$P\{Y < 0.5\} = P\{F(X) < 0.5\} = P\{X < \mu\} = 0.5$。这是因为 $F(x)$ 是严格单调递增的，所以 $F(X) < 0.5$ 等价于 $X < \mu$。
步骤 4：分析与 $\mu$ 和 $\sigma^2$ 的关系
由于 $P\{Y < 0.5\} = 0.5$，这个概率值与 $\mu$ 和 $\sigma^2$ 都无关，因为正态分布的对称性保证了 $P\{X < \mu\} = 0.5$，无论 $\mu$ 和 $\sigma^2$ 的值如何。