题目
7.设X_(1),X_(2),X_(3)是来自总体Xsim N(0,1)的一组样本，则X_(1)+X_(2)+X_(3)：____，X_(1)^2+X_(2)^2+X_(3)^2：____.(填分布)
7.设$X_{1},X_{2},X_{3}$是来自总体$X\sim N(0,1)$的一组样本，则$X_{1}+X_{2}+X_{3}$：____，$X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+X_{3}^{2}$：____.(填分布)
题目解答
答案
为了解决这个问题，我们需要确定随机变量 $X_1 + X_2 + X_3$ 和 $X_1^2 + X_2^2 + X_3^2$ 的分布，其中 $X_1, X_2, X_3$ 是来自总体 $X \sim N(0,1)$ 的样本。
### 第一步：确定 $X_1 + X_2 + X_3$ 的分布
由于 $X_1, X_2, X_3$ 是独立同分布的正态随机变量，每个的均值为0，方差为1，它们的和 $X_1 + X_2 + X_3$ 也是正态分布的。正态随机变量之和的均值是它们均值的和，方差是它们方差的和。因此，我们有：
\[
E(X_1 + X_2 + X_3) = E(X_1) + E(X_2) + E(X_3) = 0 + 0 + 0 = 0
\]
\[
\text{Var}(X_1 + X_2 + X_3) = \text{Var}(X_1) + \text{Var}(X_2) + \text{Var}(X_3) = 1 + 1 + 1 = 3
\]
因此，$X_1 + X_2 + X_3$ 服从均值为0，方差为3的正态分布，即 $N(0,3)$。
### 第二步：确定 $X_1^2 + X_2^2 + X_3^2$ 的分布
由于 $X_1, X_2, X_3$ 是独立同分布的正态随机变量，每个的均值为0，方差为1，每个 $X_i^2$ 服从自由度为1的卡方分布，即 $\chi^2(1)$。独立卡方随机变量之和的自由度是它们自由度的和。因此，我们有：
\[
X_1^2 + X_2^2 + X_3^2 \sim \chi^2(3)
\]
因此，$X_1^2 + X_2^2 + X_3^2$ 服从自由度为3的卡方分布，即 $\chi^2(3)$。
### 最终答案
$X_1 + X_2 + X_3$ 的分布是 $N(0,3)$，$X_1^2 + X_2^2 + X_3^2$ 的分布是 $\chi^2(3)$。因此，答案是：
\[
\boxed{N(0,3), \chi^2(3)}
\]
解析
步骤 1：确定 $X_1 + X_2 + X_3$ 的分布
由于 $X_1, X_2, X_3$ 是独立同分布的正态随机变量，每个的均值为0，方差为1，它们的和 $X_1 + X_2 + X_3$ 也是正态分布的。正态随机变量之和的均值是它们均值的和，方差是它们方差的和。因此，我们有：
\[ E(X_1 + X_2 + X_3) = E(X_1) + E(X_2) + E(X_3) = 0 + 0 + 0 = 0 \]
\[ \text{Var}(X_1 + X_2 + X_3) = \text{Var}(X_1) + \text{Var}(X_2) + \text{Var}(X_3) = 1 + 1 + 1 = 3 \]
因此，$X_1 + X_2 + X_3$ 服从均值为0，方差为3的正态分布，即 $N(0,3)$。
步骤 2：确定 $X_1^2 + X_2^2 + X_3^2$ 的分布
由于 $X_1, X_2, X_3$ 是独立同分布的正态随机变量，每个的均值为0，方差为1，每个 $X_i^2$ 服从自由度为1的卡方分布，即 $\chi^2(1)$。独立卡方随机变量之和的自由度是它们自由度的和。因此，我们有：
\[ X_1^2 + X_2^2 + X_3^2 \sim \chi^2(3) \]
因此，$X_1^2 + X_2^2 + X_3^2$ 服从自由度为3的卡方分布，即 $\chi^2(3)$。
由于 $X_1, X_2, X_3$ 是独立同分布的正态随机变量，每个的均值为0，方差为1，它们的和 $X_1 + X_2 + X_3$ 也是正态分布的。正态随机变量之和的均值是它们均值的和，方差是它们方差的和。因此，我们有：
\[ E(X_1 + X_2 + X_3) = E(X_1) + E(X_2) + E(X_3) = 0 + 0 + 0 = 0 \]
\[ \text{Var}(X_1 + X_2 + X_3) = \text{Var}(X_1) + \text{Var}(X_2) + \text{Var}(X_3) = 1 + 1 + 1 = 3 \]
因此，$X_1 + X_2 + X_3$ 服从均值为0，方差为3的正态分布，即 $N(0,3)$。
步骤 2：确定 $X_1^2 + X_2^2 + X_3^2$ 的分布
由于 $X_1, X_2, X_3$ 是独立同分布的正态随机变量，每个的均值为0，方差为1，每个 $X_i^2$ 服从自由度为1的卡方分布，即 $\chi^2(1)$。独立卡方随机变量之和的自由度是它们自由度的和。因此，我们有：
\[ X_1^2 + X_2^2 + X_3^2 \sim \chi^2(3) \]
因此，$X_1^2 + X_2^2 + X_3^2$ 服从自由度为3的卡方分布，即 $\chi^2(3)$。