题目

设z=(y)/(x)f(xy)，其中函数f可微，则(x)/(y)(partial z)/(partial x)+(partial z)/(partial y)=

设$z=\frac{y}{x}f(xy)$，其中函数$f$可微，则$\frac{x}{y}\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}=$

题目解答

答案

我们来逐步解决这个题目。

题目：

设
$z = \frac{y}{x} f(xy)$
其中函数 $ f $ 可微，求
$\frac{x}{y} \frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y}$

第一步：求偏导数

1. 求 $\frac{\partial z}{\partial x}$

我们有
$z = \frac{y}{x} f(xy)$

这是一个复合函数，我们使用乘积法则和链式法则求导。

记：

  • $ u = \frac{y}{x} $
  • $ v = f(xy) $

则 $ z = u \cdot v $

我们先求 $ \frac{\partial z}{\partial x} $：

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{y}{x} f(xy) \right)$

使用乘积法则：

$= \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{y}{x} \right) \cdot f(xy) + \frac{y}{x} \cdot \frac{\partial}{\partial x} f(xy)$

分别计算两项：

  • 第一项：
    $\frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{y}{x} \right) = -\frac{y}{x^2}$

  • 第二项：使用链式法则
    $\frac{\partial}{\partial x} f(xy) = f'(xy) \cdot \frac{\partial}{\partial x}(xy) = f'(xy) \cdot y$

所以：

$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{y}{x^2} f(xy) + \frac{y}{x} \cdot y f'(xy) = -\frac{y}{x^2} f(xy) + \frac{y^2}{x} f'(xy)$

2. 求 $\frac{\partial z}{\partial y}$

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{y}{x} f(xy) \right)$

同样使用乘积法则：

$= \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{y}{x} \right) \cdot f(xy) + \frac{y}{x} \cdot \frac{\partial}{\partial y} f(xy)$

分别计算：

  • 第一项：
    $\frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{y}{x} \right) = \frac{1}{x}$

  • 第二项：
    $\frac{\partial}{\partial y} f(xy) = f'(xy) \cdot x$

所以：

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{x} f(xy) + \frac{y}{x} \cdot x f'(xy) = \frac{1}{x} f(xy) + y f'(xy)$

第二步：代入表达式

我们现在要求：

$\frac{x}{y} \frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y}$

将前面求得的偏导数代入：

先计算 $\frac{x}{y} \frac{\partial z}{\partial x}$：

$\frac{x}{y} \left( -\frac{y}{x^2} f(xy) + \frac{y^2}{x} f'(xy) \right) = -\frac{1}{x} f(xy) + y f'(xy)$

再加上 $\frac{\partial z}{\partial y}$：

$\left( -\frac{1}{x} f(xy) + y f'(xy) \right) + \left( \frac{1}{x} f(xy) + y f'(xy) \right)$

我们发现：

  • $ -\frac{1}{x} f(xy) + \frac{1}{x} f(xy) = 0 $
  • $ y f'(xy) + y f'(xy) = 2y f'(xy) $

最终答案：

$\boxed{2y f'(xy)}$

解析

考查要点：本题主要考查多元复合函数的偏导数计算，以及代数运算的化简能力。关键在于正确应用乘积法则和链式法则，并注意变量间的依赖关系。

解题思路：

  1. 分解函数结构：将$z$表示为两个函数的乘积形式$\frac{y}{x} \cdot f(xy)$，便于分步求导。
  2. 分步求偏导：分别对$x$和$y$求偏导，注意在求导过程中对中间变量$xy$使用链式法则。
  3. 代数化简：将求得的偏导数代入目标表达式，通过合并同类项简化结果。

破题关键：

  • 乘积法则的正确应用，避免漏项。
  • 链式法则中对中间变量$xy$的导数计算。
  • 代入后符号处理和同类项合并的准确性。

设$z = \frac{y}{x} f(xy)$，其中$f$可微，求$\frac{x}{y} \frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y}$。

步骤1：求$\frac{\partial z}{\partial x}$

将$z$分解为$\frac{y}{x} \cdot f(xy)$，应用乘积法则：
$\begin{aligned}\frac{\partial z}{\partial x} &= \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{y}{x}\right) \cdot f(xy) + \frac{y}{x} \cdot \frac{\partial}{\partial x}f(xy) \\&= \left(-\frac{y}{x^2}\right) f(xy) + \frac{y}{x} \cdot f'(xy) \cdot y \\&= -\frac{y}{x^2} f(xy) + \frac{y^2}{x} f'(xy).\end{aligned}$

步骤2：求$\frac{\partial z}{\partial y}$

同样应用乘积法则：
$\begin{aligned}\frac{\partial z}{\partial y} &= \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{y}{x}\right) \cdot f(xy) + \frac{y}{x} \cdot \frac{\partial}{\partial y}f(xy) \\&= \frac{1}{x} f(xy) + \frac{y}{x} \cdot f'(xy) \cdot x \\&= \frac{1}{x} f(xy) + y f'(xy).\end{aligned}$

步骤3：代入目标表达式

将偏导数代入$\frac{x}{y} \frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y}$：
$\begin{aligned}\frac{x}{y} \frac{\partial z}{\partial x} &= \frac{x}{y} \left(-\frac{y}{x^2} f(xy) + \frac{y^2}{x} f'(xy)\right) \\&= -\frac{1}{x} f(xy) + y f'(xy), \\\frac{\partial z}{\partial y} &= \frac{1}{x} f(xy) + y f'(xy).\end{aligned}$
相加后：
$\left(-\frac{1}{x} f(xy) + y f'(xy)\right) + \left(\frac{1}{x} f(xy) + y f'(xy)\right) = 2y f'(xy).$