设 X_1, ..., X_n 为总体 N(mu, sigma^2) 的样本, 则下列结论中错误的是A. X_1 是 mu 的无偏估计量B. overline(X) 是 mu 的无偏估计量C. S^2 是 sigma^2 的极大似然估计量D. overline(X) 是 mu 的极大似然估计量

本题主要考察正态总体参数的无偏估计量与极大似然估计量的相关知识，需逐一分析各选项的正确性：

选项A：$X_1$是$\mu$的无偏估计量

无偏估计量的定义是估计量的期望等于被估计参数。对于总体$N(\mu,\sigma^2)$的样本$X_1$，有$E(X_1)=\mu$，满足无偏性，故A正确。

选项B：$\overline{X}$是$\mu$的无偏估计量

样本均值$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$，其期望$E(\overline{X})=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n E(X_i)=\frac{1}{n}\cdot n\mu=\mu$，满足无偏性，故B正确。

选项C：$S^2$是$\sigma^2$的极大似然估计量

总体$N(\mu,\sigma^2)$的似然函数为：
$L(\mu,\sigma^2)=\prod_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(X_i-\mu)^2}{2\sigma^2}}$
取对数得：
$\ln L=-\frac{n}{2}\ln(2\pi)-\frac{n}{2}\ln\sigma^2-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2$
对$\sigma^2$求导并令导数为0，解得$\sigma^2$的极大似然估计量为：
${\hat{\sigma}}^2_{\text{MLE}}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X})^2$
而样本方差$S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X})^2$，与极大似然估计量相差一个系数$\frac{n}{n-1}$，故C错误。

选项D：$\overline{X}$是$\mu$的极大似然估计量

对似然函数关于$\mu$求导并令导数为0，解得$\mu$的极大似然估计量为$\overline{X}$，故D正确。