多元线性回归模型[1]参数向量最小二乘估计式的矩阵表达式为( )A. ( B. ( C. ( D.

考查要点：本题主要考查多元线性回归模型中参数向量最小二乘估计的矩阵表达式，重点在于理解矩阵运算的顺序及转置的应用。

解题核心思路：最小二乘估计的核心公式为 $\hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'Y$，需明确以下两点：

1. 矩阵乘法顺序：设计矩阵 $X$ 与转置 $X'$ 的组合方式；
2. 可逆矩阵的选择：$(X'X)$ 在满秩条件下可逆，而 $(XX')$ 的可逆性依赖于样本量与变量数的关系。

破题关键点：通过矩阵维度验证选项的合理性。例如，若 $X$ 为 $n \times k$ 矩阵，$Y$ 为 $n \times 1$ 向量，则 $(X'X)$ 为 $k \times k$ 矩阵，其逆矩阵与 $X'Y$ 相乘后维度匹配，得到 $k \times 1$ 的 $\hat{\beta}$。

公式推导

最小二乘法的目标是最小化残差平方和 $S = (Y - X\beta)'(Y - X\beta)$。对 $\beta$ 求导并令导数为零，可得正规方程：
$X'X\beta = X'Y$
解得：
$\hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'Y$

选项分析

• 选项B：$(X'X)^{-1}X'Y$，与推导结果完全一致。
• 选项A：$(XX')^{-1}X'Y$，错误原因：
  • $(XX')$ 为 $n \times n$ 矩阵，其逆与 $X'Y$（$k \times 1$）维度不匹配（$n \neq k$ 时无法相乘）。
• 选项C/D：未正确应用转置操作，导致矩阵维度不匹配。