题目
设总体X的密度函数 (x,theta )= );-|||-B-|||-θ的矩估计量为 dfrac (2overrightarrow {F)-1}(1-overrightarrow {X)} ;-|||-C-|||-θ的似然函数为 (theta )=((theta +1))^nII(x)^theta -|||-D θ的最大似然估计量为 theta =-dfrac (n)(ln {I)_(1)(x)_(i)}-1
题目解答
答案
解析
步骤 1：求矩估计量
首先，我们需要求出总体X的期望值E(X)。根据密度函数$f(x,\theta )=(\theta +1){x}^{2}$，我们有：
$$
E(X) = \int_{0}^{1} x \cdot (\theta + 1)x^2 \, dx = (\theta + 1) \int_{0}^{1} x^3 \, dx = (\theta + 1) \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1} = \frac{\theta + 1}{4}
$$
令样本均值$\overline{X}$等于总体期望值E(X)，即：
$$
\overline{X} = \frac{\theta + 1}{4}
$$
解得：
$$
\theta = 4\overline{X} - 1
$$
步骤 2：求似然函数
似然函数$L(\theta)$是样本观测值的联合概率密度函数，对于给定的样本$X_1, X_2, \ldots, X_n$，似然函数为：
$$
L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} f(X_i, \theta) = \prod_{i=1}^{n} (\theta + 1)X_i^2 = (\theta + 1)^n \prod_{i=1}^{n} X_i^2
$$
步骤 3：求最大似然估计量
对似然函数取对数，得到对数似然函数：
$$
\ln L(\theta) = n \ln (\theta + 1) + 2 \sum_{i=1}^{n} \ln X_i
$$
对$\theta$求导并令导数为0，得到：
$$
\frac{\partial \ln L(\theta)}{\partial \theta} = \frac{n}{\theta + 1} = 0
$$
解得：
$$
\theta = -1 - \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \ln X_i}
$$
首先，我们需要求出总体X的期望值E(X)。根据密度函数$f(x,\theta )=(\theta +1){x}^{2}$，我们有：
$$
E(X) = \int_{0}^{1} x \cdot (\theta + 1)x^2 \, dx = (\theta + 1) \int_{0}^{1} x^3 \, dx = (\theta + 1) \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1} = \frac{\theta + 1}{4}
$$
令样本均值$\overline{X}$等于总体期望值E(X)，即：
$$
\overline{X} = \frac{\theta + 1}{4}
$$
解得：
$$
\theta = 4\overline{X} - 1
$$
步骤 2：求似然函数
似然函数$L(\theta)$是样本观测值的联合概率密度函数，对于给定的样本$X_1, X_2, \ldots, X_n$，似然函数为：
$$
L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} f(X_i, \theta) = \prod_{i=1}^{n} (\theta + 1)X_i^2 = (\theta + 1)^n \prod_{i=1}^{n} X_i^2
$$
步骤 3：求最大似然估计量
对似然函数取对数，得到对数似然函数：
$$
\ln L(\theta) = n \ln (\theta + 1) + 2 \sum_{i=1}^{n} \ln X_i
$$
对$\theta$求导并令导数为0，得到：
$$
\frac{\partial \ln L(\theta)}{\partial \theta} = \frac{n}{\theta + 1} = 0
$$
解得：
$$
\theta = -1 - \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \ln X_i}
$$