妈妈为了给过生日的小东一个惊喜,在一底面半径为20cm、高为60cm 的圆锥形生日帽内藏了一个圆柱形礼物盒。为了不让小东事先发现礼物盒,该礼物盒的侧面积最大为多少?A. 600π cm2B. 640π cm2C. 800π cm2D. 1200π cm2

考查要点：本题主要考查圆锥与圆柱的几何关系，以及利用二次函数求极值的应用能力。

解题核心思路：

1. 建立圆柱与圆锥的几何关系：利用圆锥的相似三角形性质，确定圆柱半径$r$与高度$h$的关系式。
2. 构建侧面积函数：将圆柱侧面积表示为$h$的函数，转化为二次函数求最大值问题。
3. 求函数最大值：通过二次函数顶点公式或导数法确定最大值点，代入计算即可。

破题关键点：

• 相似三角形比例：圆锥底面半径$R=20$cm，高$H=60$cm，圆柱高度为$h$时，顶部对应圆锥半径$r$满足$\frac{r}{R} = \frac{H-h}{H}$。
• 侧面积公式：圆柱侧面积$S = 2\pi r h$，需代入$r$与$h$的关系式，转化为单变量函数。

建立几何关系

设圆柱高度为$h$，底面半径为$r$。根据圆锥的相似三角形性质，圆柱顶部到圆锥顶点的高度为$H - h = 60 - h$，对应圆锥半径$r$与原圆锥底面半径$R=20$cm的比例关系为：
$\frac{r}{R} = \frac{H - h}{H} \implies r = 20 \cdot \frac{60 - h}{60} = 20 - \frac{h}{3}.$

构建侧面积函数

圆柱侧面积公式为：
$S = 2\pi r h = 2\pi \left(20 - \frac{h}{3}\right) h = 2\pi \left(20h - \frac{h^2}{3}\right).$

求函数最大值

将$S$表示为关于$h$的二次函数：
$S(h) = -\frac{2\pi}{3} h^2 + 40\pi h.$
二次函数开口向下，最大值出现在顶点处：
$h = -\frac{b}{2a} = -\frac{40\pi}{2 \cdot \left(-\frac{2\pi}{3}\right)} = 30 \, \text{cm}.$
此时圆柱半径：
$r = 20 - \frac{30}{3} = 10 \, \text{cm}.$
代入侧面积公式：
$S = 2\pi \cdot 10 \cdot 30 = 600\pi \, \text{cm}^2.$