11.已知函数f(x)对一切的x满足x f^primeprime(x)+[f^prime(x)]^2=x^2，则（）A. f(0)是f(x)的极大值.B. f(0)是f(x)的极小值.C. 点(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点.D. f(0)不是f(x)的极值，点(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点.

本题考查函数极值与拐点的判定，解题的关键在于根据已知条件求出函数在$x = 0$处的一阶导数和二阶导数，再通过二阶导数的性质判断函数的极值和拐点情况。

1. 求$f(0)$和$f^\prime(0)$的值：
   已知函数$f(x)$对一切的$x$满足$xf^{\prime\prime}(x)+[f^{\prime}(x)]^{2}=x^{2}$。
   令$x = 0$，代入到方程$xf^{\prime\prime}(x)+[f^{\prime}(x)]^{2}=x^{2}$中，可得：
   $0\times f^{\prime\prime}(0)+[f^{\prime}(0)]^{2}=0^{2}$
   即$[f^{\prime}(0)]^{2}=0$，解得$f^{\prime}(0)=0$。
   仅根据已知条件无法直接求出$f(0)$的值，但不影响后续对极值和拐点的判断。
2. 求$f^{\prime\prime}(0)$的值：
   对$xf^{\prime\prime}(x)+[f^{\prime}(x)]^{2}=x^{2}$两边同时对$x$求导，根据乘积的求导法则$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$以及复合函数求导法则$(u^2)^\prime = 2u u^\prime$可得：
   $(xf^{\prime\prime}(x))^\prime+([f^{\prime}(x)]^{2})^\prime=(x^{2})^\prime$
   $f^{\prime\prime}(x)+xf^{\prime\prime\prime}(x)+2f^{\prime}(x)f^{\prime\prime}(x)=2x$
   令$x = 0$，代入上式可得：
   $f^{\prime\prime}(0)+0\times f^{\prime\prime\prime}(0)+2f^{\prime}(0)f^{\prime\prime}(0)=2\times0$
   因为$f^{\prime}(0)=0$，所以$f^{\prime\prime}(0)=0$。
3. 判断$f^{\prime\prime}(x)$在$x = 0$两侧的符号：
   由$xf^{\prime\prime}(x)+[f^{\prime}(x)]^{2}=x^{2}$可得$f^{\prime\prime}(x)=\frac{x^{2}-[f^{\prime}(x)]^{2}}{x}$（$x\neq0$）。
   当$x\gt0$时，$x^{2}\gt0$，且$[f^{\prime}(x)]^{2}\geq0$，所以$x^{2}-[f^{\prime}(x)]^{2}$的符号取决于$x$和$[f^{\prime}(x)]^{2}$的大小关系。
   因为$f^{\prime}(0)=0$，根据导数的定义，在$x = 0$的某邻域内，当$x$很小时，$[f^{\prime}(x)]^{2}$相对于$x^{2}$是高阶无穷小，所以$x^{2}-[f^{\prime}(x)]^{2}\gt0$，则$f^{\prime\prime}(x)=\frac{x^{2}-[f^{\prime}(x)]^{2}}{x}\gt0$。
   当$x\lt0$时，$x^{2}\gt0$，同理可得$x^{2}-[f^{\prime}(x)]^{2}\gt0$，则$f^{\prime\prime}(x)=\frac{x^{2}-[f^{\prime}(x)]^{2}}{x}\lt0$。
   即$f^{\prime\prime}(x)$在$x = 0$两侧异号，根据拐点的定义，若函数在某点两侧的二阶导数异号，则该点为函数的拐点，所以点$(0,f(0))$是曲线$y = f(x)$的拐点。
4. 判断$f(0)$是否为极值：
   因为$f^{\prime}(0)=0$，但$f^{\prime\prime}(0)=0$，无法使用二阶导数判别法判断$f(0)$是否为极值。
   又因为$f^{\prime\prime}(x)$在$x = 0$两侧异号，说明函数在$x = 0$两侧的凹凸性发生了改变，所以$f(0)$不是极值。