题目

10.[填空题]设随机变量X服从参数为n=20、p=0.5的二项分布，Y=4X+5，则Y的方差为_。

题目解答

答案

为了求解随机变量 $ Y = 4X + 5 $ 的方差，我们首先需要知道随机变量 $ X $ 的方差。已知 $ X $ 服从参数为 $ n = 20 $ 和 $ p = 0.5 $ 的二项分布，二项分布的方差公式为 $ \text{Var}(X) = np(1-p) $。将 $ n $ 和 $ p $ 的值代入公式，我们得到： \[ \text{Var}(X) = 20 \times 0.5 \times (1 - 0.5) = 20 \times 0.5 \times 0.5 = 5 \] 接下来，我们利用方差的性质来求 $ Y $ 的方差。方差的性质之一是对于任意随机变量 $ X $ 和常数 $ a $ 和 $ b $，随机变量 $ Y = aX + b $ 的方差为 $ \text{Var}(Y) = a^2 \text{Var}(X) $。在本题中， $ a = 4 $ 和 $ b = 5 $，因此： \[ \text{Var}(Y) = 4^2 \text{Var}(X) = 16 \times 5 = 80 \] Thus, the answer is: \[ \boxed{80} \]

解析

本题考查考查二项分布的方差公式以及方差的性质。解题思路如下：

首先，根据二项分布的方差公式求出随机变量 $X$ 的方差。对于服从参数为 $n$ 和 $p$ 的二项分布的随机变量 $X$，其方差公式为 $\text{Var}(X)=np(1 - p)$。
2 然后，利用方差的性质求出随机变量 $Y = 4X + 5$ 的方差。方差的性质为：对于任意随机变量 $X$ 和常数 $a$、$b$，随机变量 $Y=aX + b$ 的方差为 $\text{Var}(Y)=a^{2}\text{Var}(X)$。

下面进行详细计算：

计算随机变量 $X$ 的方差：
已知 $X$ 服从参数为 $n = 20$，$p = 0.5$ 的二项分布，将 $n = 20$，$p = 0.5$ 代入二项分布的方差公式 $\text{Var}(X)=np(1 - p)$，可得：
$\text{Var}(X)=20\times0.5\times(1 - 0.5)$
$=20\times0.5\times0.5$
$= 5$
2.计算随机变量 $Y$ 的方差：
因为 $Y = 4X + 5$，这里 $a = 4$，$b = 5$，根据方差的性质 $\text{Var(Y)=a^{2}\text{Var}(X)$，可得：
$\text{Var}(Y)=4^{2}\times\text{Var}(X)$
$=16\times5$
$= 80$