某个计算机系统有120个终端,在某一指定时间内每个终端有5%的时间在使用,假定各个终端用与否是相互独立的,试求这一指定时间内使用的终端个数X在10个到20个之间的概率.

考查要点：本题主要考查二项分布的正态近似应用，以及如何利用连续性修正进行概率计算。

解题核心思路：

1. 识别分布类型：题目中每个终端独立使用，符合二项分布$X \sim B(n=120, p=0.05)$。
2. 正态近似条件：当$n$较大且$p$不极端时，可用均值$\mu = np$、方差$\sigma^2 = np(1-p)$的正态分布近似。
3. 连续性修正：因二项分布是离散的，用连续正态分布近似时需对边界值进行调整（如$10$调整为$10.5$，$20$调整为$19.5$）。
4. 标准化与查表：将原始值转化为标准正态变量$Z$，通过查标准正态分布表计算概率。

破题关键点：

• 正确应用连续性修正是提高近似精度的关键步骤。
• 准确计算均值与标准差，并正确标准化。

步骤1：确定分布参数

• 二项分布参数：$n=120$，$p=0.05$，故$\mu = np = 6$，$\sigma^2 = np(1-p) = 5.7$，$\sigma = \sqrt{5.7} \approx 2.387$。

步骤2：应用连续性修正

原问题$P(10 < X < 20)$对应离散取值$X=11,12,\dots,19$，修正后区间为$10.5 < X < 19.5$。

步骤3：标准化为标准正态变量

计算修正后的上下限对应的$Z$值：

• 下限：$Z_1 = \dfrac{10.5 - 6}{\sqrt{5.7}} \approx \dfrac{4.5}{2.387} \approx 1.885$
• 上限：$Z_2 = \dfrac{19.5 - 6}{\sqrt{5.7}} \approx \dfrac{13.5}{2.387} \approx 5.656$

步骤4：查标准正态分布表

• $P(Z < 5.656) \approx 1$（因$Z$值极大）
• $P(Z < 1.885) \approx 0.9693$（查表得$Z=1.88$对应$0.9693$，$Z=1.89$对应$0.9696$，取中间值）

步骤5：计算概率差

$P(10 < X < 20) \approx 1 - 0.9693 = 0.0307$