7.一食品店有三种蛋糕出售,由于售出哪一种蛋糕是随机的,因而售出一-|||-只蛋糕的价格是一个随机变量,它取1元、1.2元、1.5元各个值的概率分别为-|||-0.3、0.2、0.5.若售出300只蛋糕.-|||-(1)求收入至少400元的概率;-|||-(2)求售出价格为1.2元的蛋糕多于60只的概率.

步骤 1：定义随机变量
设第i只蛋糕的价格为 ${X}_{i},i=1,2,\cdots ,300$ ,则X,有分布律为 X 1 1.2 1.5 p 0.3 0.2 0.5
步骤 2：计算期望和方差
由此得 $E(X)=1\times 0.3+1.2\times 0.2+1.5\times 0.5=1.29$. $E({{x}_{1}}^{2})={1}^{2}\times 0.3+{1.2}^{2}\times 0.2+{1.5}^{2}\times 0.5=1.713$ 故 $D({X}_{i})={E}_{({X}_{i})}{[ {E}_{i}{X}_{i}{X}_{i}{X}_{i}{({X}_{i})}^{2}=0.0489$
步骤 3：求收入至少400元的概率
以X表示这天的总收入,则 $X=\sum _{i=1}^{300}X$, 由中心极限定理得 $P\{ x\geqslant 400\} =P\{ 400\leqslant x\lt \infty $ = $\left \{ \dfrac {400-300\times 1.29}{\sqrt {300}\sqrt {0.0489}}\leqslant \dfrac {\sum _{i=1}^{100}{x}_{i}-300\times 1.29}{\sqrt {300}\sqrt {0.0489}} \right.$ $\lt \dfrac {\infty -300\times 1.29}{\sqrt {300}\sqrt {0.0489}}\} $ $\approx 1-(3.39)=1-0.9997=0.0003$
步骤 4：求售出价格为1.2元的蛋糕多于60只的概率
以Y记300只蛋糕中售价为1.2元的蛋糕的只数,于是 $Y\sim b(300$, 0.2). $E(Y)=300\times 0.2$ $D(Y)=300\times 0.2\times 0.8$ ,由棣莫弗-拉普拉斯定理得 $P\{ Y\gt 60\} =1-P\{ Y\leqslant 60\} $ $=1-P\{ \dfrac {Y-300\times 0.2}{\sqrt {300\times 0.2\times 0.8}}\leqslant \dfrac {60-300\times 0.2}{\sqrt {300\times 0.2\times 0.8}\} }$ $\approx 1-(\dfrac {60-300\times 0.2}{\sqrt {300\times 0.2\times 0.8}})=1-(0)=0.5$