题目
4.设随机变量(X,Y)满足D(X+Y)=D(X-Y)，则必有（）A. X与Y相互独立B. X与Y不相关C. X与Y不相互独立D. D(X)=0或D(Y)=0
4.设随机变量(X,Y)满足D(X+Y)=D(X-Y)，则必有（）
A. X与Y相互独立
B. X与Y不相关
C. X与Y不相互独立
D. D(X)=0或D(Y)=0
题目解答
答案
B. X与Y不相关
解析
步骤 1：方差性质
根据方差的性质，对于两个随机变量 $X$ 和 $Y$，有：
\[D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2\text{Cov}(X,Y)\]
\[D(X-Y) = D(X) + D(Y) - 2\text{Cov}(X,Y)\]
步骤 2：应用题设条件
根据题设条件 $D(X+Y) = D(X-Y)$，代入方差性质的公式，得到：
\[D(X) + D(Y) + 2\text{Cov}(X,Y) = D(X) + D(Y) - 2\text{Cov}(X,Y)\]
步骤 3：解方程
化简上述方程，得到：
\[4\text{Cov}(X,Y) = 0\]
解得：
\[\text{Cov}(X,Y) = 0\]
步骤 4：结论
协方差为零表示 $X$ 与 $Y$ 不相关，但不一定独立。因此，正确答案为：
根据方差的性质，对于两个随机变量 $X$ 和 $Y$，有：
\[D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2\text{Cov}(X,Y)\]
\[D(X-Y) = D(X) + D(Y) - 2\text{Cov}(X,Y)\]
步骤 2：应用题设条件
根据题设条件 $D(X+Y) = D(X-Y)$，代入方差性质的公式，得到：
\[D(X) + D(Y) + 2\text{Cov}(X,Y) = D(X) + D(Y) - 2\text{Cov}(X,Y)\]
步骤 3：解方程
化简上述方程，得到：
\[4\text{Cov}(X,Y) = 0\]
解得：
\[\text{Cov}(X,Y) = 0\]
步骤 4：结论
协方差为零表示 $X$ 与 $Y$ 不相关，但不一定独立。因此，正确答案为：