1.设 f(x)= {x)^3,xleqslant 1 (x)^2,xgt 1 . 则 f(x)在 x=1 处的 ()-|||-(A)左、右导数都存在 (B)左导数存在,但右导数不存在-|||-(C)左导数不存在,但右导数存在 (D)左、右导数都不存在

本题考查分段函数函数在分段点处的左右导数的存在性，解题思路是根据左右导数的定义分别计算函数在$x = 1$处的左导数和右导数，再根据计算结果判断其是否存在。

1. 计算左导数$f_{-}'(1)$

根据左导数的定义：$f_{-}'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0^-}\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$，对于本题$x_0 = 1$，则有：
$f_{-}'(1)=\lim\limits_{\Delta x \to 0^-}\frac{f(1 + \Delta x) - f(1)}{\Delta x}$
因为$\Delta x \to 0^-$，所以$1 + \Delta x \lt 1$，此时$1)式中\(f(x)$的表达式，此时$f(1 + \Delta x)=\frac{2}{3}(1 + \Delta x)^3$，$f(1)=\frac{2}{3}\times1^3=\frac{2}{3}$
将其代入上式可得：
$\begin{align*}f_{-}'(1)&=\lim\limits_{\Delta x \to 0^-}\frac{\frac{2}{3}(1 + \Delta x)^3 - \frac{2}{3}}{\Delta x}\\&=\lim\limits_{\Delta x \to 0^-}\frac{\frac{2}{3}((1 + \Delta x)^3 - 1)}{\Delta x}\\&=\frac{2}{3}\lim\limits_{\Delta x \to 0^-}\frac{1 + 3\Delta x)^3 -1}{\Delta x}\\\end{align*}$
根据立方差公式$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$，这里$a = 1 + \Delta x\\)，\(b = 1$，则$(1 + \Delta x)^3 - 1 = (1 + \Delta x - 1)[(1 + \Delta x)^2 + (1 + \Delta x) + 1] = \Delta x[(1 + \Delta x)^2 + (1 + \Delta x) + 1]$
所以$f_{-}'(1)=\frac{2}{3}\lim\limits_{\Delta x \to 0^-}\frac{\Delta x[(1 + \Delta x)^2 + (1 + \Delta x) + 1]}{\Delta x}=\frac{2}{3}\lim\limits_{\Delta x \to 0^-}((1 + \Delta x)^2 + (1 + \Delta x) + 1)$
将$\Delta x = 0$代入可得：$f_{-}'(1)=\frac{2}{3}(1^2 + 1 + 1) = 2$，即左导数存在。

2. 计算右导数$f_{+}'(1)$

根据右导数的定义：$f_{+)'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0^+}\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$，对于本题$x_0 = 1$，则有：
$f_{+}'(1)}=\lim\limits_{\Delta x \to 0^+}\frac{f(1 + \Delta x) - f(1)}{\Delta x}$
因为$\Delta x \to 0^+$，所以$1 + \Delta x \gt 1$，考虑(2)式中$f(x)$的表达式，此时$f(1 + \Delta x)=(1 + \Delta x)^2$，$f(1)=\frac{2}{3}\times1^3=\frac{2}{3}$
将将其代入上式可得：
$\begin{align*}f_{+}'(1)&=\lim\limits_{\Delta x \to 0^+}\frac{(1 + \Delta x)^2 - \frac{2}{3}}{\Delta x}\\&=\lim\limits_{\Delta x \to 0^+}\frac{1 + 2\Delta x + (\Delta x)^2 - \frac{2}{3}}{\Delta x}\\&=\lim\limits_{\Delta x \to 0^+}\frac{\frac{1}{3} + 2\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x}\\&=\lim\limits_{\Delta x \to 0^+}(\frac{1}{3\Delta x} + 2 + \Delta x)\end{align*}$
当$\Delta x \to 0^+$时，$\frac{1}{3\Delta x} \to +\infty$，所以$\lim\limits_{\Delta x \to 0^+}(\frac{1}{3\Delta x} + 2 + \Delta x)= +\infty$，即右导数不存在。

综上，$f(x)$在 x = 1)处左导数存在，但右导数不存在。