题目
4.(1)设样本X1,X 2,···,X6来自总体N(0,1), =(({X)_(1)+(X)_(2)+(X)_(2))}^2-|||-+(({x)_(4)+(x)_(3)+(x)_(6))}^2 ,试确定常数C使CY服从x^2分布.-|||-(2)设样本X1,X 2,···,X5来自总体N(0,1), =dfrac (C({X)_(1)+(X)_(2))}({({{X)_(3)}^2+({X)_(4)}^2+({X)_(5)}^2)}^1/2} ,试确定常数C使-|||-Y服从t分布.-|||-(3)已知 sim t(n) ,求证 ^2sim F(1,n) 。
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定CY服从x^2分布的条件
根据x^2分布的定义，若随机变量Z服从N(0,1)，则Z^2服从x^2分布。因此，我们需要将CY表示为若干个服从N(0,1)的随机变量的平方和的形式。
步骤 2：将CY表示为若干个服从N(0,1)的随机变量的平方和
由于X1, X2, ..., X6是来自总体N(0,1)的样本，因此X1, X2, ..., X6相互独立且均服从N(0,1)。我们有：
$Y = ({X}_{1}+{X}_{2}+{X}_{3})^{2} + ({X}_{4}+{X}_{5}+{X}_{6})^{2}$
令$Z_1 = \frac{{X}_{1}+{X}_{2}+{X}_{3}}{\sqrt{3}}$，$Z_2 = \frac{{X}_{4}+{X}_{5}+{X}_{6}}{\sqrt{3}}$，则$Z_1$和$Z_2$均服从N(0,1)。因此，$Y = 3(Z_1^2 + Z_2^2)$。为了使CY服从x^2分布，我们需要CY = Z_1^2 + Z_2^2，因此C = 1/3。
步骤 3：确定C使Y服从t分布的条件
根据t分布的定义，若随机变量Z服从N(0,1)，且V服从x^2分布，且Z与V相互独立，则$\frac{Z}{\sqrt{V/n}}$服从t分布。因此，我们需要将Y表示为$\frac{Z}{\sqrt{V/n}}$的形式。
步骤 4：将Y表示为$\frac{Z}{\sqrt{V/n}}$的形式
由于X1, X2, ..., X5是来自总体N(0,1)的样本，因此X1, X2, ..., X5相互独立且均服从N(0,1)。我们有：
$Y = \frac{C({X}_{1}+{X}_{2})}{\sqrt{{X}_{3}^{2}+{X}_{4}^{2}+{X}_{5}^{2}}}$
令$Z = \frac{{X}_{1}+{X}_{2}}{\sqrt{2}}$，$V = {X}_{3}^{2}+{X}_{4}^{2}+{X}_{5}^{2}$，则Z服从N(0,1)，V服从x^2(3)分布，且Z与V相互独立。因此，$Y = \frac{C\sqrt{2}Z}{\sqrt{V/3}}$。为了使Y服从t分布，我们需要C√2 = 1，因此C = √(1/2) = √3/2。
步骤 5：证明${X}^{2}\sim F(1,n)$
已知$X\sim t(n)$，则$X = \frac{Z}{\sqrt{V/n}}$，其中Z服从N(0,1)，V服从x^2(n)分布，且Z与V相互独立。因此，${X}^{2} = \frac{Z^2}{V/n}$。由于Z^2服从x^2(1)分布，V/n服从x^2(n)分布，且Z^2与V/n相互独立，因此${X}^{2}\sim F(1,n)$。
根据x^2分布的定义，若随机变量Z服从N(0,1)，则Z^2服从x^2分布。因此，我们需要将CY表示为若干个服从N(0,1)的随机变量的平方和的形式。
步骤 2：将CY表示为若干个服从N(0,1)的随机变量的平方和
由于X1, X2, ..., X6是来自总体N(0,1)的样本，因此X1, X2, ..., X6相互独立且均服从N(0,1)。我们有：
$Y = ({X}_{1}+{X}_{2}+{X}_{3})^{2} + ({X}_{4}+{X}_{5}+{X}_{6})^{2}$
令$Z_1 = \frac{{X}_{1}+{X}_{2}+{X}_{3}}{\sqrt{3}}$，$Z_2 = \frac{{X}_{4}+{X}_{5}+{X}_{6}}{\sqrt{3}}$，则$Z_1$和$Z_2$均服从N(0,1)。因此，$Y = 3(Z_1^2 + Z_2^2)$。为了使CY服从x^2分布，我们需要CY = Z_1^2 + Z_2^2，因此C = 1/3。
步骤 3：确定C使Y服从t分布的条件
根据t分布的定义，若随机变量Z服从N(0,1)，且V服从x^2分布，且Z与V相互独立，则$\frac{Z}{\sqrt{V/n}}$服从t分布。因此，我们需要将Y表示为$\frac{Z}{\sqrt{V/n}}$的形式。
步骤 4：将Y表示为$\frac{Z}{\sqrt{V/n}}$的形式
由于X1, X2, ..., X5是来自总体N(0,1)的样本，因此X1, X2, ..., X5相互独立且均服从N(0,1)。我们有：
$Y = \frac{C({X}_{1}+{X}_{2})}{\sqrt{{X}_{3}^{2}+{X}_{4}^{2}+{X}_{5}^{2}}}$
令$Z = \frac{{X}_{1}+{X}_{2}}{\sqrt{2}}$，$V = {X}_{3}^{2}+{X}_{4}^{2}+{X}_{5}^{2}$，则Z服从N(0,1)，V服从x^2(3)分布，且Z与V相互独立。因此，$Y = \frac{C\sqrt{2}Z}{\sqrt{V/3}}$。为了使Y服从t分布，我们需要C√2 = 1，因此C = √(1/2) = √3/2。
步骤 5：证明${X}^{2}\sim F(1,n)$
已知$X\sim t(n)$，则$X = \frac{Z}{\sqrt{V/n}}$，其中Z服从N(0,1)，V服从x^2(n)分布，且Z与V相互独立。因此，${X}^{2} = \frac{Z^2}{V/n}$。由于Z^2服从x^2(1)分布，V/n服从x^2(n)分布，且Z^2与V/n相互独立，因此${X}^{2}\sim F(1,n)$。